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問題｜等式を利用した不等式の証明
式と証明 39☆
等式 \((a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2\)
を証明し、
不等式 \((a^2+b^2)(x^2+y^2){\small ~≧~}(ax+by)^2\) を証明する方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
等式を利用した不等式の証明
Point：等式を利用した不等式の証明
\(\rm A=B+C\) のとき、\(\rm A{\small ~≧~}B\) の証明は、
① 等式 \(\rm A=B+C\) を証明する。
② 不等式の(左辺)－(右辺)に等式を代入して、0以上であることを示す。
\(\begin{eqnarray}~~~\rm A-B&=&\rm (B+C)-B
\\[3pt]~~~&=&\rm C{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
したがって、\(\rm A{\small ~≧~}B\)
等式を利用した不等式の証明方法は、
\(\rm A=B+C\) のとき、\(\rm A{\small ~≧~}B\) の証明は、
① 等式 \(\rm A=B+C\) を証明する。
② 不等式の(左辺)－(右辺)に等式を代入して、0以上であることを示す。
\(\begin{eqnarray}~~~\rm A-B&=&\rm (B+C)-B
\\[3pt]~~~&=&\rm C{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
したがって、\(\rm A{\small ~≧~}B\)
※ \(\rm C\) が \((~~~)^2\) の形となることが多い。
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詳しい解説｜等式を利用した不等式の証明
式と証明 39☆
等式 \((a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2\)
を証明し、
不等式 \((a^2+b^2)(x^2+y^2){\small ~≧~}(ax+by)^2\) を証明する方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
[証明]
等式について、
(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+b^2)(x^2+y^2)
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\end{eqnarray}\)
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(ax+by)^2+(ay-bx)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+2abxy+b^2y^2+a^2y^2-2abxy+b^2x^2
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+2abxy+b^2y^2+a^2y^2-2abxy+b^2x^2
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\end{eqnarray}\)
したがって、
\((a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2\)
次に、不等式について、
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2\end{eqnarray}\)
等式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(ax+by)^2+(ay-bx)^2-(ax+by)^2
\\[3pt]~~~&=&(ay-bx)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
したがって、
\((a^2+b^2)(x^2+y^2){\small ~≧~}(ax+by)^2\) [終]
