このページは、「等式を利用した不等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
等式を利用した不等式の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\({\small (1)}~\)次の等式を証明せよ。
\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2\)
\({\small (2)}~\)次の不等式を証明せよ。
\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2){\small ~≧~}(ax+by+cz)^2\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.39 演習問題B 7
[証明]
等式について、
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\end{eqnarray}\)
(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2abxy+2bcyz+2caxz
\\[3pt]~~~&~&\hspace{10pt}+a^2y^2-2abxy+b^2x^2
\\[3pt]~~~&~&\hspace{10pt}+b^2z^2-2bcyz+c^2y^2
\\[3pt]~~~&~&\hspace{10pt}+c^2x^2-2caxz+a^2z^2
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2abxy+2bcyz+2caxz
\\[3pt]~~~&~&\hspace{10pt}+a^2y^2-2abxy+b^2x^2
\\[3pt]~~~&~&\hspace{10pt}+b^2z^2-2bcyz+c^2y^2
\\[3pt]~~~&~&\hspace{10pt}+c^2x^2-2caxz+a^2z^2
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\end{eqnarray}\)
したがって、
\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2\)
次に、不等式について、
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2\end{eqnarray}\)
等式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2-(ax+by+cz)^2
\\[3pt]~~~&=&(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
したがって、
\((a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2){\small ~≧~}(ax+by+cz)^2\) [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\({\small (1)}~\)次の等式を証明せよ。
\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
\({\small (2)}~\)次の不等式を証明せよ。
\(a^2+b^2+c^2{\small ~≧~}ab+bc+ca\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.37 章末問題A 6
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.36 章末問題A 6
[証明]
等式について、
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca
\\[3pt]~~~&=&2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca
\\[3pt]~~~&=&2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{eqnarray}\)
したがって、
\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
次に、不等式について、
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\end{eqnarray}\)
等式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a^2+b^2+c^2{\small ~≧~}ab+bc+ca\) [終]
