このページは、「平方根を含む不等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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平方根を含む不等式の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\( a \gt 0 \)、\( b \gt 0 \) のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
\(3\sqrt{a}+2\sqrt{b} \gt \sqrt{9a+4b}\)
\(3\sqrt{a}+2\sqrt{b} \gt \sqrt{9a+4b}\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.34 練習30
両辺の平方の差を計算して、平方根の値は \(0\) より大きい \(\sqrt{\rm A}\gt 0\) を用いて証明する。
[証明] 両辺の平方の差は、
(左辺)²－(右辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(3\sqrt{a}+2\sqrt{b}\right)^2-\left(\sqrt{9a+4b}\right)^2
\\[3pt]~~~&=&\left(3\sqrt{a}\right)^2+2\cdot 3\sqrt{a}\cdot 2\sqrt{b}+\left(2\sqrt{b}\right)^2-(9a+4b)
\\[3pt]~~~&=&9a+12\sqrt{ab}+4b-9a-4b
\\[3pt]~~~&=&12\sqrt{ab}~\gt~0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\left(3\sqrt{a}\right)^2+2\cdot 3\sqrt{a}\cdot 2\sqrt{b}+\left(2\sqrt{b}\right)^2-(9a+4b)
\\[3pt]~~~&=&9a+12\sqrt{ab}+4b-9a-4b
\\[3pt]~~~&=&12\sqrt{ab}~\gt~0\end{eqnarray}\)
よって、
\(\left(3\sqrt{a}+2\sqrt{b}\right)^2 \gt \left(\sqrt{9a+4b}\right)^2\)
ここで、\( 3\sqrt{a}+2\sqrt{b} \gt 0 \)、\( \sqrt{9a+4b} \gt 0 \) より、
\(3\sqrt{a}+2\sqrt{b} \gt \sqrt{9a+4b}\) [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\( a \gt 0 \) のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
\(\sqrt{1+a} \lt 1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\)
\(\sqrt{1+a} \lt 1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.38 問題 12
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.56 問14
両辺の平方の差を計算して、2乗の値は \(0\) より大きい \({\rm A}^2 \gt 0\) を用いて証明する。
[証明] 両辺の平方の差は、
(右辺)²－(左辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\right)^2-\left(\sqrt{1+a}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1+a+\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}-(1+a)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}~\gt~0\end{eqnarray}\)
よって、
\(\left(1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\right)^2 \gt \left(\sqrt{1+a}\right)^2\)
ここで、\( a \gt 0 \) であるので、\( 1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,} \gt 0 \)、\( \sqrt{1+a} \gt 0 \) より、
\(1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,} \gt \sqrt{1+a}\)
したがって、
\(\sqrt{1+a} \lt 1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\) [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\( x \gt 0 \) のとき、次の不等式を証明せよ。
\(1+x \gt \sqrt{1+2x}\)
\(1+x \gt \sqrt{1+2x}\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.32 練習41
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.31 練習31
両辺の平方の差を計算して、2乗の値は \(0\) より大きい \({\rm A}^2 \gt 0\) を用いて証明する。
[証明] 両辺の平方の差は、
(左辺)²－(右辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(1+x\right)^2-\left(\sqrt{1+2x}\right)^2
\\[3pt]~~~&=&1+2x+x^2-(1+2x)
\\[3pt]~~~&=&x^2~\gt~0\end{eqnarray}\)
よって、
\(\left(1+x\right)^2 \gt \left(\sqrt{1+2x}\right)^2\)
ここで、\( x \gt 0 \) であるので、\( 1+x \gt 0 \)、\( \sqrt{1+2x} \gt 0 \) より、
\(1+x \gt \sqrt{1+2x}\) [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\( a \gt 0 \)、\( b \gt 0 \) のとき、次の不等式を証明せよ。
\(\sqrt{2(a+b)} {\small ~≧~} \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\sqrt{2(a+b)} {\small ~≧~} \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.36 問題 13
両辺の平方の差を計算して、2乗の値は \(0\) 以上 \({\rm A}^2 {\small ~≧~} 0\) を用いて証明する。
[証明] 両辺の平方の差は、
(左辺)²－(右辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\sqrt{2(a+b)}\right)^2-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2
\\[3pt]~~~&=&(a+b)-\left\{\left(\sqrt{a}\right)^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^2\right\}
\\[3pt]~~~&=&2(a+b)-(a+2\sqrt{ab}+b)
\\[3pt]~~~&=&2a+2b-a-2\sqrt{ab}-b
\\[3pt]~~~&=&a-2\sqrt{ab}+b
\\[3pt]~~~&=&\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、
\(\left(\sqrt{2(a+b)}\right)^2 {\small ~≧~} \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
ここで、\( \sqrt{2(a+b)} \gt 0 \)、\( \sqrt{a}+\sqrt{b} \gt 0 \) より、
\(\sqrt{2(a+b)} {\small ~≧~} \sqrt{a}+\sqrt{b}\) [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\( a {\small ~≧~} b {\small ~≧~} 0 \) のとき、不等式
\(\sqrt{a}-\sqrt{b} {\small ~≦~} \sqrt{a-b}\)
を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
\(\sqrt{a}-\sqrt{b} {\small ~≦~} \sqrt{a-b}\)
を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.57 問題 28
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.62 Training 38
両辺の平方の差を計算して、平方根の値は \(0\) 以上 \(\sqrt{\rm A} {\small ~≧~} 0\) を用いて証明する。
[証明] \( a {\small ~≧~} b {\small ~≧~} 0 \) より、\( \sqrt{a} {\small ~≧~} \sqrt{b} \) となり、
\( \sqrt{a}-\sqrt{b} {\small ~≧~} 0 \)
両辺の平方の差は、
(右辺)²－(左辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\sqrt{a-b}\right)^2-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2
\\[3pt]~~~&=&(a-b)-\left\{\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^2\right\}
\\[3pt]~~~&=&(a-b)-(a-2\sqrt{ab}+b)
\\[3pt]~~~&=&a-b-a+2\sqrt{ab}-b
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{ab}-2b
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、
\(\left(\sqrt{a-b}\right)^2 {\small ~≧~} \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\)
ここで、\( \sqrt{a-b} {\small ~≧~} 0 \)、\( \sqrt{a}-\sqrt{b} {\small ~≧~} 0 \) より、
\(\sqrt{a-b} {\small ~≧~} \sqrt{a}-\sqrt{b}\)
したがって、
\(\sqrt{a}-\sqrt{b} {\small ~≦~} \sqrt{a-b}\) [終]
等号が成り立つのは、
\( 2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=0 \) のとき、
\(\sqrt{b}=0\) または \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\)
すなわち、\( b=0 \) または \( a=b \) のとき
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\( a {\small ~≧~} 0 \) のとき、不等式
\(a+1 {\small ~≧~} \sqrt{2a+1}\)
を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
\(a+1 {\small ~≧~} \sqrt{2a+1}\)
を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.58 問10
両辺の平方の差を計算して、2乗の値は \(0\) 以上 \({\rm A}^2 {\small ~≧~} 0\) を用いて証明する。
[証明] 両辺の平方の差は、
(左辺)²－(右辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a+1\right)^2-\left(\sqrt{2a+1}\right)^2
\\[3pt]~~~&=&(a^2+2a+1)-(2a+1)
\\[3pt]~~~&=&a^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、
\(\left(a+1\right)^2 {\small ~≧~} \left(\sqrt{2a+1}\right)^2\)
ここで、\( a+1 \gt 0 \)、\( \sqrt{2a+1} \gt 0 \) より、
\(a+1 {\small ~≧~} \sqrt{2a+1}\) [終]
等号が成り立つのは、\( a^2=0 \) のとき、
すなわち、\( a=0 \) のとき
