このページは、「絶対値を含む不等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
絶対値を含む不等式の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の不等式を証明せよ。また，等号が成り立つのはどのようなときか。
\(|\,a-b\,|{\small ~≦~}|\,a\,|+|\,b\,|\)
\(|\,a-b\,|{\small ~≦~}|\,a\,|+|\,b\,|\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.35 練習31
[証明] 両辺の平方の差は、
(右辺)²－(左辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2-|\,a-b\,|^2
\\[3pt]~~~&=&|\,a\,|^2+2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2-(a-b)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+2|\,ab\,|+b^2-\left(\,a^2-2ab+b^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&a^2+2|\,ab\,|+b^2-a^2+2ab-b^2
\\[3pt]~~~&=&2\left(\,|\,ab\,|+ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\(|\,a-b\,|^2{\small ~≦~}\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2\)
\(|\,a-b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≧~}0\) より、
\(|\,a-b\,|{\small ~≦~}|\,a\,|+|\,b\,|\) [終]
等号が成り立つのは、
\(|\,ab\,|+ab=0~~\Leftrightarrow~~|\,ab\,|=-ab\)
すなわち \(ab{\small ~≦~}0\) のとき
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の不等式を証明せよ。
\({\small (1)}~\) \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a-b\,|\)
\({\small (2)}~\) \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a+b\,|\)
\({\small (1)}~\) \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a-b\,|\)
\({\small (2)}~\) \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a+b\,|\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.38 問題 13
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.37 章末問題A 5
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.57 問題 29
\({\small (1)}~\)[証明]
\(\small [\,1\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|\lt 0\) のとき
\(|\,a-b\,|{\small ~≧~}0\) であるから、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a-b\,|\) は成り立つ
\(\small [\,2\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0\) のとき
両辺の平方の差は、
(右辺)²－(左辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&|\,a-b\,|^2-\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2
\\[3pt]~~~&=&(a-b)^2-\left(\,|\,a\,|^2-2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2-a^2+2|\,ab\,|-b^2
\\[3pt]~~~&=&2\left(\,|\,ab\,|-ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
∵ \(|\,ab\,|{\small ~≧~}ab\) より、\(|\,ab\,|-ab{\small ~≧~}0\)
よって、\(|\,a-b\,|^2{\small ~≧~}\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2\)
\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a-b\,|{\small ~≧~}0\) より、
\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a-b\,|\)
\(\small [\,1\,]\)、\(\small [\,2\,]\) より、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a-b\,|\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(\small [\,1\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|\lt 0\) のとき
\(|\,a+b\,|{\small ~≧~}0\) であるから、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a+b\,|\) は成り立つ
\(\small [\,2\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0\) のとき
両辺の平方の差は、
(右辺)²－(左辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&|\,a+b\,|^2-\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2
\\[3pt]~~~&=&(a+b)^2-\left(\,|\,a\,|^2-2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2-a^2+2|\,ab\,|-b^2
\\[3pt]~~~&=&2\left(\,|\,ab\,|+ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
∵ \(|\,ab\,|{\small ~≧~}-ab\) より、\(|\,ab\,|+ab{\small ~≧~}0\)
よって、\(|\,a+b\,|^2{\small ~≧~}\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2\)
\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a+b\,|{\small ~≧~}0\) より、
\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a+b\,|\)
\(\small [\,1\,]\)、\(\small [\,2\,]\) より、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a+b\,|\) [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(|\,a\,|\lt 1~,~|\,b\,|\lt 1\) のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ。
\({\small (1)}~\) \(1+ab\gt 0\)
\({\small (2)}~\) \(|\,a+b\,|\lt 1+ab\)
\({\small (1)}~\) \(1+ab\gt 0\)
\({\small (2)}~\) \(|\,a+b\,|\lt 1+ab\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.39 演習問題B 9
\({\small (1)}~\)[証明]
\(|\,a\,|\lt 1~,~|\,b\,|\lt 1\) より、
\(|\,ab\,| \lt 1\)
よって、\(-1\lt ab\lt 1\)
\(\begin{eqnarray}~~~-1&\lt &ab
\\[3pt]~~~ab&\gt &-1
\\[3pt]~~~ab+1&\gt &0
\end{eqnarray}\)
[終]
\({\small (2)}~\)[証明] 両辺の平方の差は、
(右辺)²－(左辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(1+ab)^2-|\,a+b\,|^2
\\[3pt]~~~&=&1+2ab+a^2b^2-(a+b)^2
\\[3pt]~~~&=&1+2ab+a^2b^2-\left(\,a^2+2ab+b^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&1+a^2b^2-a^2-b^2
\\[3pt]~~~&=&\left(\,1-a^2\,\right)-b^2\left(\,1-a^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&\left(\,1-a^2\,\right)\left(\,1-b^2\,\right)\end{eqnarray}\)
ここで、\(|\,a\,|\lt 1\) より \(a^2\lt 1\) であるから、
\(1-a^2\gt 0\)
また、\(|\,b\,|\lt 1\) より \(b^2\lt 1\) であるから、
\(1-b^2\gt 0\)
よって、\(\left(\,1-a^2\,\right)\left(\,1-b^2\,\right)\gt 0\)
ゆえに、\((1+ab)^2\gt |\,a+b\,|^2\)
(1) より \(1+ab\gt 0\) であるから、
\(|\,a+b\,|\lt 1+ab\) [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の不等式を証明せよ。また，等号が成り立つときを調べよ。
\(|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≧~}|\,a-b\,|\)
\(|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≧~}|\,a-b\,|\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.33 練習31
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.56 問15
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.61 Challenge 問1
[証明] 両辺の平方の差は、
(左辺)²－(右辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2-|\,a-b\,|^2
\\[3pt]~~~&=&|\,a\,|^2+2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2-(a-b)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+2|\,ab\,|+b^2-\left(\,a^2-2ab+b^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&a^2+2|\,ab\,|+b^2-a^2+2ab-b^2
\\[3pt]~~~&=&2\left(\,|\,ab\,|+ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
∵ \(|\,ab\,|{\small ~≧~}-ab\) より、\(|\,ab\,|+ab{\small ~≧~}0\)
よって、\(\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2{\small ~≧~}|\,a-b\,|^2\)
\(|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a-b\,|{\small ~≧~}0\) より、
\(|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≧~}|\,a-b\,|\) [終]
等号が成り立つのは、
\(|\,ab\,|+ab=0~~\Leftrightarrow~~|\,ab\,|=-ab\)
すなわち \(ab{\small ~≦~}0\) のとき
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05次の不等式を証明せよ。また，等号が成り立つときを調べよ。
\(|\,a\,|+2|\,b\,|{\small ~≧~}|\,a+2b\,|\)
\(|\,a\,|+2|\,b\,|{\small ~≧~}|\,a+2b\,|\)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.32 練習32
[証明] 両辺の平方の差は、
(左辺)²－(右辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\,|\,a\,|+2|\,b\,|\,\right)^2-|\,a+2b\,|^2
\\[3pt]~~~&=&|\,a\,|^2+4|\,a\,||\,b\,|+4|\,b\,|^2-(a+2b)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+4|\,ab\,|+4b^2-\left(\,a^2+4ab+4b^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&a^2+4|\,ab\,|+4b^2-a^2-4ab-4b^2
\\[3pt]~~~&=&4\left(\,|\,ab\,|-ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
∵ \(|\,ab\,|{\small ~≧~}ab\) より、\(|\,ab\,|-ab{\small ~≧~}0\)
よって、\(\left(\,|\,a\,|+2|\,b\,|\,\right)^2{\small ~≧~}|\,a+2b\,|^2\)
\(|\,a\,|+2|\,b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a+2b\,|{\small ~≧~}0\) より、
\(|\,a\,|+2|\,b\,|{\small ~≧~}|\,a+2b\,|\) [終]
等号が成り立つのは、
\(|\,ab\,|-ab=0~~\Leftrightarrow~~|\,ab\,|=ab\)
すなわち \(ab{\small ~≧~}0\) のとき
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06次の不等式を証明せよ。
\(\sqrt{\,a^2+b^2\,}{\small ~≦~}|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}\sqrt{\,a^2+b^2\,}\)
\(\sqrt{\,a^2+b^2\,}{\small ~≦~}|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}\sqrt{\,a^2+b^2\,}\)
[証明] \(|\,a\,|+|\,b\,|\) と \(\sqrt{\,a^2+b^2\,}\) の平方の差は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2-\left(\sqrt{\,a^2+b^2\,}\right)^2
\\[3pt]~~~&=&|\,a\,|^2+2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2-\left(\,a^2+b^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&a^2+2|\,ab\,|+b^2-a^2-b^2
\\[3pt]~~~&=&2|\,ab\,|{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\(\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2{\small ~≧~}\left(\sqrt{\,a^2+b^2\,}\right)^2\)
\(|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≧~}0~,~\sqrt{\,a^2+b^2\,}{\small ~≧~}0\) より、
\(\sqrt{\,a^2+b^2\,}{\small ~≦~}|\,a\,|+|\,b\,|\)
\(\sqrt{\,2\,}\sqrt{\,a^2+b^2\,}\) と \(|\,a\,|+|\,b\,|\) の平方の差は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\sqrt{\,2\,}\sqrt{\,a^2+b^2\,}\right)^2-\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2
\\[3pt]~~~&=&2\left(\,a^2+b^2\,\right)-\left(\,|\,a\,|^2+2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2b^2-a^2-2|\,ab\,|-b^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-2|\,ab\,|+b^2
\\[3pt]~~~&=&\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\(\left(\sqrt{\,2\,}\sqrt{\,a^2+b^2\,}\right)^2{\small ~≧~}\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2\)
\(|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≧~}0~,~\sqrt{\,2\,}\sqrt{\,a^2+b^2\,}{\small ~≧~}0\) より、
\(|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}\sqrt{\,a^2+b^2\,}\)
したがって、
\(\sqrt{\,a^2+b^2\,}{\small ~≦~}|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}\sqrt{\,a^2+b^2\,}\)
[終]
