- 数学Ⅱ｜式と証明「相加平均と相乗平均の大小関係」の基本例題解説ページです。
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問題｜相加平均と相乗平均の大小関係
式と証明 43\(a\gt 0\) のとき、不等式 \(a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
相加平均と相乗平均の大小関係
Point：相加平均と相乗平均の大小関係
\(a\gt 0\) のとき、\(a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\)
① 2つの数がともに正であることを示す。
\(a\gt 0\) より、\(a\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\gt 0\)
② 相加平均と相乗平均の大小関係の式より、不等式を証明する。
\(a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\sqrt{\,a\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\,}=2\)
③ 等号が成り立つ条件は、2つの数が等しいときである。
相加平均と相乗平均の大小関係を用いた不等式の証明方法は、
\(a\gt 0\) のとき、\(a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\)
① 2つの数がともに正であることを示す。
\(a\gt 0\) より、\(a\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\gt 0\)
② 相加平均と相乗平均の大小関係の式より、不等式を証明する。
\(a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\sqrt{\,a\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\,}=2\)
③ 等号が成り立つ条件は、2つの数が等しいときである。
\(a=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}~~\Leftrightarrow~~a=1~~(\,∵~a\gt 0)\,\)
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詳しい解説｜相加平均と相乗平均の大小関係
式と証明 43
\(a\gt 0\) のとき、不等式 \(a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
[証明] \(a\gt 0\) より、\(a\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,a\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\(\begin{eqnarray}~~~a=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow~a^2&=&1\end{eqnarray}\)
\(a\gt 0\) より、\(a=1\) のとき
