このページは、「相加平均と相乗平均の大小関係」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
相加平均と相乗平均の大小関係 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。ただし、\(a\) は正の数とする。
\(2a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\sqrt{\,6\,}\)
\(2a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\sqrt{\,6\,}\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.37 練習32(1)
[証明] \(a\gt 0\) より、\(2a\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}\gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~2a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,2a\cdot\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,6\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(2a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\sqrt{\,6\,}\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\(\begin{eqnarray}~~~2a=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow~2a^2&=&3\\[5pt]~~~a^2&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(a\gt 0\) より、\(a=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\) のとき
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(a\gt 0~,~b\gt 0\) のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
\(ab+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}4\)
\(ab+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}4\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.38 練習14(1)
[証明] \(a\gt 0~,~b\gt 0\) より、\(ab\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}\gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~ab+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,ab\cdot\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,4\,}=4\end{eqnarray}\)
したがって、\(ab+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}4\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\(\begin{eqnarray}~~~ab=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}~\Leftrightarrow~(ab)^2&=&4\end{eqnarray}\)
\(ab\gt 0\) より、\(ab=2\) のとき
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(a\gt 0~,~b\gt 0\) のとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つときを調べよ。
\({\small (1)}~\) \(a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}{\small ~≧~}4\)
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\)
\({\small (1)}~\) \(a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}{\small ~≧~}4\)
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.35 練習32
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.34 練習33
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.60 問12
\({\small (1)}~\)
[証明] \(a\gt 0\) より、\(a\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,a\cdot\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,4\,}=4\end{eqnarray}\)
したがって、\(a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}{\small ~≧~}4\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\(\begin{eqnarray}~~~a=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow~a^2&=&4\end{eqnarray}\)
\(a\gt 0\) より、\(a=2\) のとき
\({\small (2)}~\)
[証明] \(a\gt 0~,~b\gt 0\) より、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\cdot\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow~a^2&=&b^2\end{eqnarray}\)
\(a\gt 0~,~b\gt 0\) より、\(a=b\) のとき
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(a\gt 0~,~b\gt 0\) のとき、次の不等式を証明せよ。
\(ab+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}8\)
\(ab+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}8\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.37 章末問題A 7(1)
[証明] \(a\gt 0~,~b\gt 0\) より、\(ab\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,16\,}{\,ab\,}\gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~ab+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,ab\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,ab\cdot\displaystyle \frac{\,16\,}{\,ab\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,16\,}=8\end{eqnarray}\)
したがって、\(ab+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}8\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\(\begin{eqnarray}~~~ab=\displaystyle \frac{\,16\,}{\,ab\,}~\Leftrightarrow~(ab)^2&=&16\end{eqnarray}\)
\(ab\gt 0\) より、\(ab=4\) のとき
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(a\gt 0~,~b\gt 0\) のとき、次の不等式を証明せよ。
\(ab+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}6\)
\(ab+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}6\)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.36 章末問題A 7(1)
[証明] \(a\gt 0~,~b\gt 0\) より、\(ab\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}\gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~ab+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,ab\cdot\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,9\,}=6\end{eqnarray}\)
したがって、\(ab+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}6\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\(\begin{eqnarray}~~~ab=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}~\Leftrightarrow~(ab)^2&=&9\end{eqnarray}\)
\(ab\gt 0\) より、\(ab=3\) のとき
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06\(a\gt 0\) のとき、次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
\(a+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,a\,}{\small ~≧~}6\)
\(a+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,a\,}{\small ~≧~}6\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.55 問13(1)
[証明] \(a\gt 0\) より、\(a\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,9\,}{\,a\,}\gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,a\cdot\displaystyle \frac{\,9\,}{\,a\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,9\,}=6\end{eqnarray}\)
したがって、\(a+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,a\,}{\small ~≧~}6\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\(\begin{eqnarray}~~~a=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow~a^2&=&9\end{eqnarray}\)
\(a\gt 0\) より、\(a=3\) のとき
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07\(a\gt 0\) のとき、不等式 \(9a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}{\small ~≧~}12\) を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.62 Training 39
[証明] \(a\gt 0\) より、\(9a\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~9a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,9a\cdot\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,36\,}=12\end{eqnarray}\)
したがって、\(9a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}{\small ~≧~}12\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\(\begin{eqnarray}~~~9a=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow~9a^2&=&4\\[5pt]~~~a^2&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
\(a\gt 0\) より、\(a=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) のとき
