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問題｜式の展開と相加平均・相乗平均
式と証明 44\(x \gt 0~,~y \gt 0\) のとき、不等式 \(\displaystyle (x+y)\left(\frac{\,1\,}{\,x\,}+\frac{\,1\,}{\,y\,}\right){\small ~≧~}4\) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
式の展開と相加平均・相乗平均
Point：式の展開と相加平均・相乗平均
\(x \gt 0~,~y \gt 0\) のとき、
\(\displaystyle (x+y)\left(\frac{\,1\,}{\,x\,}+\frac{\,1\,}{\,y\,}\right){\small ~≧~}4\)
① 左辺を展開し、互いに逆数の和の形をつくる。
\(\displaystyle (x+y)\left(\frac{\,1\,}{\,x\,}+\frac{\,1\,}{\,y\,}\right)=\frac{\,x\,}{\,y\,}+\frac{\,y\,}{\,x\,}+2\)
② 相加平均と相乗平均の大小関係の式を立てる。
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,} \gt 0~,~\frac{\,y\,}{\,x\,} \gt 0\) より、
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}+\frac{\,y\,}{\,x\,}{\small ~≧~}2\sqrt{\frac{\,x\,}{\,y\,}\cdot\frac{\,y\,}{\,x\,}}=2\)
③ ②の式より、不等式を証明する。
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}+\frac{\,y\,}{\,x\,}+2{\small ~≧~}2+2\)
よって、\(\displaystyle (x+y)\left(\frac{\,1\,}{\,x\,}+\frac{\,1\,}{\,y\,}\right){\small ~≧~}4\)
④ 等号が成立するのは②の式より、2つの数が等しいときである。
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}=\frac{\,y\,}{\,x\,}\) すなわち \(x=y\) のとき
式の展開と相加平均と相乗平均の大小関係を用いた不等式の証明方法は、
\(x \gt 0~,~y \gt 0\) のとき、
\(\displaystyle (x+y)\left(\frac{\,1\,}{\,x\,}+\frac{\,1\,}{\,y\,}\right){\small ~≧~}4\)
① 左辺を展開し、互いに逆数の和の形をつくる。
\(\displaystyle (x+y)\left(\frac{\,1\,}{\,x\,}+\frac{\,1\,}{\,y\,}\right)=\frac{\,x\,}{\,y\,}+\frac{\,y\,}{\,x\,}+2\)
② 相加平均と相乗平均の大小関係の式を立てる。
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,} \gt 0~,~\frac{\,y\,}{\,x\,} \gt 0\) より、
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}+\frac{\,y\,}{\,x\,}{\small ~≧~}2\sqrt{\frac{\,x\,}{\,y\,}\cdot\frac{\,y\,}{\,x\,}}=2\)
③ ②の式より、不等式を証明する。
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}+\frac{\,y\,}{\,x\,}+2{\small ~≧~}2+2\)
よって、\(\displaystyle (x+y)\left(\frac{\,1\,}{\,x\,}+\frac{\,1\,}{\,y\,}\right){\small ~≧~}4\)
④ 等号が成立するのは②の式より、2つの数が等しいときである。
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}=\frac{\,y\,}{\,x\,}\) すなわち \(x=y\) のとき
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詳しい解説｜式の展開と相加平均・相乗平均
式と証明 44
\(x \gt 0~,~y \gt 0\) のとき、不等式 \(\displaystyle (x+y)\left(\frac{\,1\,}{\,x\,}+\frac{\,1\,}{\,y\,}\right){\small ~≧~}4\) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
［証明］
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+y)\left(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}+\frac{\,1\,}{\,y\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&x\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}+x\cdot\frac{\,1\,}{\,y\,}+y\cdot\frac{\,1\,}{\,x\,}+y\cdot\frac{\,1\,}{\,y\,}
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle\frac{\,x\,}{\,y\,}+\frac{\,y\,}{\,x\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x\,}{\,y\,}+\frac{\,y\,}{\,x\,}+2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(x \gt 0~,~y \gt 0\) より、
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,} \gt 0~,~\frac{\,y\,}{\,x\,} \gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}+\frac{\,y\,}{\,x\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\frac{\,x\,}{\,y\,}\cdot\frac{\,y\,}{\,x\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}+\frac{\,y\,}{\,x\,}{\small ~≧~}2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
両辺に \(2\) を加えると、
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}+\frac{\,y\,}{\,x\,}+2{\small ~≧~}2+2\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\displaystyle (x+y)\left(\frac{\,1\,}{\,x\,}+\frac{\,1\,}{\,y\,}\right){\small ~≧~}4\) [終]
また、等号が成立するのは \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}=\frac{\,y\,}{\,x\,}~\Leftrightarrow ~ x^2=y^2\)
\(x \gt 0~,~y \gt 0\) より、\(x=y\) のとき
