このページは、「式の展開と相加平均・相乗平均」の練習問題アーカイブページとなります。
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式の展開と相加平均・相乗平均 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a \gt 0~,~b \gt 0\) のとき、不等式 \(\displaystyle (a+b)\left(\frac{\,1\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right){\small ~≧~}4\) が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.37 問6
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.36 問題 14
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.35 補充問題 8
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.55 問13(2)
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.65 Level Up 14(1)
［証明］
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)\left(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&a\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}+a\cdot\frac{\,1\,}{\,b\,}+b\cdot\frac{\,1\,}{\,a\,}+b\cdot\frac{\,1\,}{\,b\,}
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,} \gt 0~,~\frac{\,b\,}{\,a\,} \gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\frac{\,a\,}{\,b\,}\cdot\frac{\,b\,}{\,a\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
両辺に \(2\) を加えると、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+2{\small ~≧~}2+2\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\displaystyle (a+b)\left(\frac{\,1\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right){\small ~≧~}4\) [終]
また、等号が成立するのは \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}=\frac{\,b\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow ~ a^2=b^2\)
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、\(a=b\) のとき
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。ただし、\(a~,~b~,~c~,~d\) は正の数とする。
\(\displaystyle \left(\frac{\,b\,}{\,a\,}+\frac{\,d\,}{\,c\,}\right)\left(\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,c\,}{\,d\,}\right){\small ~≧~}4\)
\(\displaystyle \left(\frac{\,b\,}{\,a\,}+\frac{\,d\,}{\,c\,}\right)\left(\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,c\,}{\,d\,}\right){\small ~≧~}4\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.37 練習32(2)
［証明］
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\displaystyle\frac{\,b\,}{\,a\,}+\frac{\,d\,}{\,c\,}\right)\left(\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,c\,}{\,d\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,b\,}{\,a\,}\cdot\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}\cdot\frac{\,c\,}{\,d\,}+\frac{\,d\,}{\,c\,}\cdot\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,d\,}{\,c\,}\cdot\frac{\,c\,}{\,d\,}
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle\frac{\,bc\,}{\,ad\,}+\frac{\,ad\,}{\,bc\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,bc\,}{\,ad\,}+\frac{\,ad\,}{\,bc\,}+2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~c \gt 0~,~d \gt 0\) より、
\(\displaystyle \frac{\,bc\,}{\,ad\,} \gt 0~,~\frac{\,ad\,}{\,bc\,} \gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,bc\,}{\,ad\,}+\frac{\,ad\,}{\,bc\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\frac{\,bc\,}{\,ad\,}\cdot\frac{\,ad\,}{\,bc\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,bc\,}{\,ad\,}+\frac{\,ad\,}{\,bc\,}{\small ~≧~}2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
両辺に \(2\) を加えると、
\(\displaystyle \frac{\,bc\,}{\,ad\,}+\frac{\,ad\,}{\,bc\,}+2{\small ~≧~}2+2\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\displaystyle \left(\frac{\,b\,}{\,a\,}+\frac{\,d\,}{\,c\,}\right)\left(\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,c\,}{\,d\,}\right){\small ~≧~}4\) [終]
また、等号が成立するのは \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\displaystyle \frac{\,bc\,}{\,ad\,}=\frac{\,ad\,}{\,bc\,}~\Leftrightarrow ~ (bc)^2=(ad)^2\)
\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~c \gt 0~,~d \gt 0\) より、\(ad=bc\) のとき
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(a \gt 0~,~b \gt 0\) のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
\(\displaystyle \left(a+\frac{\,4\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,9\,}{\,a\,}\right){\small ~≧~}25\)
\(\displaystyle \left(a+\frac{\,4\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,9\,}{\,a\,}\right){\small ~≧~}25\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.38 問題 14(2)
［証明］
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,9\,}{\,a\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&a\cdot b+a\cdot\displaystyle\frac{\,9\,}{\,a\,}+\frac{\,4\,}{\,b\,}\cdot b+\frac{\,4\,}{\,b\,}\cdot\frac{\,9\,}{\,a\,}
\\[5pt]~~~&=&ab+9+4+\displaystyle\frac{\,36\,}{\,ab\,}
\\[5pt]~~~&=&ab+\displaystyle\frac{\,36\,}{\,ab\,}+13~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、
\(\displaystyle ab \gt 0~,~\frac{\,36\,}{\,ab\,} \gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle ab+\frac{\,36\,}{\,ab\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{ab\cdot\frac{\,36\,}{\,ab\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,36\,}=12\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle ab+\frac{\,36\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}12~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
両辺に \(13\) を加えると、
\(\displaystyle ab+\frac{\,36\,}{\,ab\,}+13{\small ~≧~}12+13\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\displaystyle \left(a+\frac{\,4\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,9\,}{\,a\,}\right){\small ~≧~}25\) [終]
また、等号が成立するのは \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\displaystyle ab=\frac{\,36\,}{\,ab\,}~\Leftrightarrow ~ (ab)^2=36\)
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、\(ab=6\) のとき
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(a \gt 0~,~b \gt 0\) のとき、次の不等式を証明せよ。
\(\displaystyle \left(a+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,4\,}{\,a\,}\right){\small ~≧~}9\)
\(\displaystyle \left(a+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,4\,}{\,a\,}\right){\small ~≧~}9\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.37 章末問題A 7(2)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.36 章末問題A 7(2)
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.65 Level Up 14(2)
［証明］
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,4\,}{\,a\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&a\cdot b+a\cdot\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\cdot b+\frac{\,1\,}{\,b\,}\cdot\frac{\,4\,}{\,a\,}
\\[5pt]~~~&=&ab+4+1+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,ab\,}
\\[5pt]~~~&=&ab+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,ab\,}+5~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、
\(\displaystyle ab \gt 0~,~\frac{\,4\,}{\,ab\,} \gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle ab+\frac{\,4\,}{\,ab\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{ab\cdot\frac{\,4\,}{\,ab\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,4\,}=4\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle ab+\frac{\,4\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}4~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
両辺に \(5\) を加えると、
\(\displaystyle ab+\frac{\,4\,}{\,ab\,}+5{\small ~≧~}4+5\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\displaystyle \left(a+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,4\,}{\,a\,}\right){\small ~≧~}9\) [終]
また、等号が成立するのは \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\displaystyle ab=\frac{\,4\,}{\,ab\,}~\Leftrightarrow ~ (ab)^2=4\)
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、\(ab=2\) のとき
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
\({\small (2)}~a~,~b~,~c~,~d\) が正の数のとき
\((a+b)(c+d){\small ~≧~}4\sqrt{\,abcd\,}\)
\({\small (3)}~a~,~b~,~c\) が正の数のとき
\((a+b)(b+c)(c+a){\small ~≧~}8abc\)
\({\small (2)}~a~,~b~,~c~,~d\) が正の数のとき
\((a+b)(c+d){\small ~≧~}4\sqrt{\,abcd\,}\)
\({\small (3)}~a~,~b~,~c\) が正の数のとき
\((a+b)(b+c)(c+a){\small ~≧~}8abc\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.60 練習問題A 7(2)(3)
※ 補足：以下の(2)(3)は、左辺を展開せずに、相加平均と相乗平均の大小関係の式を辺々掛け合わせることで証明する。
\({\small (2)}~\)［証明］
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(a+b{\small ~≧~}2\sqrt{\,ab\,}~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
\(c \gt 0~,~d \gt 0\) より、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(c+d{\small ~≧~}2\sqrt{\,cd\,}~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) の各辺はすべて正であるから、辺々を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~(a+b)(c+d)&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,ab\,}\cdot 2\sqrt{\,cd\,}
\\[5pt]~~~&=&4\sqrt{\,abcd\,}\end{eqnarray}\)
よって、\((a+b)(c+d){\small ~≧~}4\sqrt{\,abcd\,}\) [終]
また、等号が成立するのは \({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(a=b\) かつ \(c=d\) のとき
\({\small (3)}~\)［証明］
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(a+b{\small ~≧~}2\sqrt{\,ab\,}~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
\(b \gt 0~,~c \gt 0\) より、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(b+c{\small ~≧~}2\sqrt{\,bc\,}~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
\(c \gt 0~,~a \gt 0\) より、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(c+a{\small ~≧~}2\sqrt{\,ca\,}~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\)、\({\small [\,3\,]}\) の各辺はすべて正であるから、辺々を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~(a+b)(b+c)(c+a)&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,ab\,}\cdot 2\sqrt{\,bc\,}\cdot 2\sqrt{\,ca\,}
\\[5pt]~~~&=&8\sqrt{\,a^2b^2c^2\,}
\\[5pt]~~~&=&8abc\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&8\sqrt{\,a^2b^2c^2\,}
\\[5pt]~~~&=&8abc\end{eqnarray}\)
よって、\((a+b)(b+c)(c+a){\small ~≧~}8abc\) [終]
また、等号が成立するのは \({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\)、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(a=b\) かつ \(b=c\) かつ \(c=a\)
すなわち、\(a=b=c\) のとき
