- 数学Ⅱ｜式と証明「相加平均・相乗平均と最小値」の基本例題解説ページです。
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問題｜相加平均・相乗平均と最小値
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
相加平均・相乗平均と最小値
\(a \gt 0\) のとき、\(\left(\,a+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)\) の最小値は、
① 式を展開して、互いに逆数の和をつくる。
\(\left(\,a+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)=a^2+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a^2\,}+5\)
② 相加平均と相乗平均の大小関係より最小値を求める。
\(a^2+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a^2\,}{\small ~≧~}2\sqrt{a^2 \cdot \displaystyle\frac{\,4\,}{\,a^2\,}}=4\)
よって、
\(\left(\,a+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right){\small ~≧~}9\)
③ 等号が成立する条件より、最小値をとる \(a\) の値を求める。
\(a^2=\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a^2\,}\Leftrightarrow a^4=4\)
\(a \gt 0\) より \(a=\sqrt{2}\) のとき成り立つ
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詳しい解説｜相加平均・相乗平均と最小値
\(a \gt 0\) のとき、\(\left(\,a+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)\) の最小値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
\(a+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}\) と \(a+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a\,}\) のそれぞれの最小値の積では、
\(a+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}\) は \(a=1\) で最小値 \(2\)
\(a+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a\,}\) は \(a=2\) で最小値 \(4\)
このように、両方を同時に最小にする \(a\) は存在しない。
よって、展開した式の最小値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\,a+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&a^2+4+1+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a^2\,}
\\[5pt]~~~&=&a^2+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a^2\,}+5~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a^2 \gt 0\)~,~\(\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a^2\,} \gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a^2\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{a^2 \cdot \displaystyle\frac{\,4\,}{\,a^2\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{4}=4\end{eqnarray}\)
よって、
\(a^2+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a^2\,}{\small ~≧~}4~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
また、等号が成立する条件は、
\(a^2=\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a^2\,}~\Leftrightarrow ~ a^4=4\)
\(a \gt 0\) より、\(a=\sqrt{2}\) のとき、
\({\small [\,2\,]}\) の両辺に \(5\) を加えて、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a^2\,}+5&{\small ~≧~}&4+5
\\[5pt]~~~\left(\,a+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)&{\small ~≧~}&9\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=\sqrt{2}\) のとき最小値 \(9\) をとる
