このページは、「相加平均・相乗平均と最小値」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
相加平均・相乗平均と最小値 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a \gt 0\) のとき、\(\left(\,a+\displaystyle\frac{\,2\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle\frac{\,8\,}{\,a\,}\,\right)\) の最小値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.38 問題 15
\(a+\displaystyle\frac{\,2\,}{\,a\,}\) と \(a+\displaystyle\frac{\,8\,}{\,a\,}\) のそれぞれの最小値の積では、
\(a+\displaystyle\frac{\,2\,}{\,a\,}\) は \(a=\sqrt{2}\) で最小値 \(2\sqrt{2}\)
\(a+\displaystyle\frac{\,8\,}{\,a\,}\) は \(a=2\sqrt{2}\) で最小値 \(4\sqrt{2}\)
このように、両方を同時に最小にする \(a\) は存在しない。
よって、展開した式の最小値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\,a+\displaystyle\frac{\,2\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle\frac{\,8\,}{\,a\,}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&a^2+8+2+\displaystyle\frac{\,16\,}{\,a^2\,}
\\[5pt]~~~&=&a^2+\displaystyle\frac{\,16\,}{\,a^2\,}+10~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(a^2 \gt 0\)~,~\(\displaystyle\frac{\,16\,}{\,a^2\,} \gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+\displaystyle\frac{\,16\,}{\,a^2\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{a^2 \cdot \displaystyle\frac{\,16\,}{\,a^2\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{16}=8\end{eqnarray}\)
よって、
\(a^2+\displaystyle\frac{\,16\,}{\,a^2\,}{\small ~≧~}8~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
また、等号が成立する条件は、
\(a^2=\displaystyle\frac{\,16\,}{\,a^2\,}~\Leftrightarrow ~ a^4=16\)
\(a \gt 0\) より、\(a=2\) のとき、
\({\small [\,2\,]}\) の両辺に \(10\) を加えて、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+\displaystyle\frac{\,16\,}{\,a^2\,}+10&{\small ~≧~}&8+10
\\[5pt]~~~\left(\,a+\displaystyle\frac{\,2\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle\frac{\,8\,}{\,a\,}\,\right)&{\small ~≧~}&18\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=2\) のとき最小値 \(18\) をとる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02面積が一定値 \(S\) である長方形のうち、周の長さが最小となるのは正方形である。このことを、長方形の隣り合う \(2\) 辺の長さを \(a~,~b\) とし、\(a~,~b\) について相加平均と相乗平均の大小関係を用いて証明せよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.38 問題 16
[証明] 長方形の隣り合う \(2\) 辺の長さを \(a~,~b\) とする
面積が一定値 \(S\) より、
\(ab=S~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
また、周の長さは \(2(a+b)\) である
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、相加平均と相乗平均の大小関係から、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,a+b\,}{\,2\,}&{\small ~≧~}&\sqrt{ab}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,a+b\,}{\,2\,}&{\small ~≧~}&\sqrt{S}\hspace{20pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}\,)
\\[5pt]~~~a+b&{\small ~≧~}&2\sqrt{S}
\\[5pt]~~~2(a+b)&{\small ~≧~}&4\sqrt{S}
\end{eqnarray}\)
また、等号が成立するのは \(a=b\) のときで、そのとき周の長さは \(2(a+b)\) は最小値 \(4\sqrt{S}\) をとる
よって、\(a=b\) のとき、この長方形は正方形となる
したがって、面積が一定値 \(S\) である長方形のうち、周の長さが最小となるのは正方形である。
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次のようなゲームを行う。
\(1\) から \(7\) までの数字の書かれた \(7\) 枚のカードがある。このカードを \(2\) つの組に分けて、それぞれの組の和の積をこのゲームの得点とする。
たとえば、\(1~,~2~,~3~,~4\) と \(5~,~6~,~7\) の \(2\) つの組に分けた場合、得点は \((1+2+3+4)(5+6+7)=10 \cdot 18=180\) で \(180\) 点となる。
このゲームの得点の最大値を求めよ。また、得点が最大となるような組の分け方を \(1\) つ示せ。
\(1\) から \(7\) までの数字の書かれた \(7\) 枚のカードがある。このカードを \(2\) つの組に分けて、それぞれの組の和の積をこのゲームの得点とする。
たとえば、\(1~,~2~,~3~,~4\) と \(5~,~6~,~7\) の \(2\) つの組に分けた場合、得点は \((1+2+3+4)(5+6+7)=10 \cdot 18=180\) で \(180\) 点となる。
このゲームの得点の最大値を求めよ。また、得点が最大となるような組の分け方を \(1\) つ示せ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.36 問題 15
\(2\) つの組の和をそれぞれ \(x~,~y\) とすると、\(x+y\) はすべての数の和であるので、
\(x+y=1+2+3+4+5+6+7=28\)
また、得点は \(xy\) である
\(x\gt 0~,~y\gt 0\) であるので、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,x+y\,}{\,2\,}&{\small ~≧~}&\sqrt{xy}\end{eqnarray}\)
\(x+y=28\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,28\,}{\,2\,}&{\small ~≧~}&\sqrt{xy}
\\[5pt]~~~14&{\small ~≧~}&\sqrt{xy}
\\[5pt]~~~xy&{\small ~≦~}&196\end{eqnarray}\)
よって、最大値 \(196\) となる
また、等号が成立するのは \(x=y=14\) のときであり、
和が \(14\) となる組の分け方を探すと、
\(\{1~,~6~,~7\}\) と \(\{2~,~3~,~4~,~5\}\)
したがって、得点の最大値は \(196\) 点
分け方の例は、\(\{1~,~6~,~7\}\) と \(\{2~,~3~,~4~,~5\}\) となる
