- 数学Ⅱ｜式と証明「複数の文字式の大小比較」の基本例題解説ページです。
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問題｜複数の文字式の大小比較
式と証明 46☆\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~a \neq b\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}~,~\)\(\sqrt{ab}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,2ab\,}{\,a+b\,}\) の大小関係を調べる方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
解法のPoint
複数の文字式の大小比較
Point：複数の文字式の大小比較
\(\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}~,~\sqrt{ab}~,~\displaystyle \frac{\,2ab\,}{\,a+b\,}\)
① 条件を満たす適当な \(a~,~b\) の値から、大小関係の予想を立てる。
\(a=1~,~b=2\) の場合は、
\(\displaystyle \frac{\,1+2\,}{\,2\,} \gt \sqrt{2} \gt \frac{\,4\,}{\,1+2\,}\)
② 相加平均と相乗平均の大小関係を用いて、大小関係を調べる。
\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~a \neq b\) のとき、
\(\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,} \gt \sqrt{ab}\)
③ 不等式の証明を用いて、残りの大小関係を調べる。
\(\sqrt{ab} \gt \displaystyle \frac{\,2ab\,}{\,a+b\,}\)
複数の文字式の大小関係の調べ方は、
\(\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}~,~\sqrt{ab}~,~\displaystyle \frac{\,2ab\,}{\,a+b\,}\)
① 条件を満たす適当な \(a~,~b\) の値から、大小関係の予想を立てる。
\(a=1~,~b=2\) の場合は、
\(\displaystyle \frac{\,1+2\,}{\,2\,} \gt \sqrt{2} \gt \frac{\,4\,}{\,1+2\,}\)
② 相加平均と相乗平均の大小関係を用いて、大小関係を調べる。
\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~a \neq b\) のとき、
\(\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,} \gt \sqrt{ab}\)
③ 不等式の証明を用いて、残りの大小関係を調べる。
\(\sqrt{ab} \gt \displaystyle \frac{\,2ab\,}{\,a+b\,}\)
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詳しい解説｜複数の文字式の大小比較
式と証明 46☆
\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~a \neq b\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}~,~\)\(\sqrt{ab}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,2ab\,}{\,a+b\,}\) の大小関係を調べる方法は？
高校数学Ⅱ｜式と証明
問題を解く前に、
\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~a \neq b\) を満たす具体的な \(a~,~b\) で予想を立てる。
\(a=1~,~b=2\) のとき、
\(\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}=\frac{\,3\,}{\,2\,}=1.5\)
\(\sqrt{ab}=\sqrt{2}=1.414\cdots\)
\(\displaystyle \frac{\,2ab\,}{\,a+b\,}=\frac{\,4\,}{\,3\,}=1.333\cdots\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,} \gt \sqrt{ab} \gt \frac{\,2ab\,}{\,a+b\,}\) と予想できる。
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,} \gt \sqrt{ab}~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
（※ \(a \neq b\) より等号は成立しない。）
次に、\(\sqrt{ab}\) と \(\displaystyle \frac{\,2ab\,}{\,a+b\,}\) について、
平方の差より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\sqrt{ab}\right)^2-\left(\displaystyle \frac{\,2ab\,}{\,a+b\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&ab-\displaystyle \frac{\,(2ab)^2\,}{\,(a+b)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,ab(a+b)^2\,}{\,(a+b)^2\,}-\frac{\,4a^2b^2\,}{\,(a+b)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,ab(a+b)^2-4a^2b^2\,}{\,(a+b)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,ab\left\{(a+b)^2-4ab\right\}\,}{\,(a+b)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,ab\left(a^2+2ab+b^2-4ab\right)\,}{\,(a+b)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,ab\left(a^2-2ab+b^2\right)\,}{\,(a+b)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,ab(a-b)^2\,}{\,(a+b)^2\,} \gt 0\hspace{20pt}(\,∵~a \gt 0~,~b \gt 0\,)
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\left(\sqrt{ab}\right)^2 \gt \left(\displaystyle \frac{\,2ab\,}{\,a+b\,}\right)^2\)
\(\sqrt{ab} \gt 0~,~\displaystyle \frac{\,2ab\,}{\,a+b\,} \gt 0\) より、
\(\sqrt{ab} \gt \displaystyle \frac{\,2ab\,}{\,a+b\,}~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,} \gt \sqrt{ab} \gt \frac{\,2ab\,}{\,a+b\,}\)
