このページは、「複数の文字式の大小比較」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(0 \lt a \lt b~,~a+b=1\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~2ab~,~a^2+b^2\) を小さい方から順に並べよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.39 演習問題B 8
問題を解く前に、
\(0 \lt a \lt b~,~a+b=1\) を満たす具体的な \(a~,~b\) で予想を立てる。
\(\displaystyle a=\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~b=\frac{\,2\,}{\,3\,}\) のとき、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\frac{\,9\,}{\,18\,}\)
\(\displaystyle 2ab=2\cdot\frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot\frac{\,2\,}{\,3\,}=\frac{\,4\,}{\,9\,}=\frac{\,8\,}{\,18\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle a^2+b^2&=&\left(\frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2+\left(\frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,9\,}+\frac{\,4\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,5\,}{\,9\,}=\frac{\,10\,}{\,18\,}
\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle 2ab \lt \frac{\,1\,}{\,2\,} \lt a^2+b^2\) と予想できる。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) と \(2ab\) の差より、\(b=1-a\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-2ab
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-2a(1-a)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-2a+2a^2
\\[5pt]~~~&=&2a^2-2a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\left(a^2-a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&2\left(a-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2 \gt 0\hspace{20pt}(\,∵~a \neq \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,)
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \gt 2ab~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
次に、\(a^2+b^2\) と \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の差より、\(b=1-a\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&a^2+b^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&a^2+(1-a)^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&a^2+1-2a+a^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2a^2-2a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\left(a^2-a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&2\left(a-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2 \gt 0\hspace{20pt}(\,∵~a \neq \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,)
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\displaystyle a^2+b^2 \gt \frac{\,1\,}{\,2\,}~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\displaystyle 2ab \lt \frac{\,1\,}{\,2\,} \lt a^2+b^2\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(a \gt b \gt 0~,~a+b=1\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~2ab~,~a^2+b^2\) を大きい順に並べよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.38 章末問題B 14
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.37 章末問題B 14
問題を解く前に、
\(a \gt b \gt 0~,~a+b=1\) を満たす具体的な \(a~,~b\) で予想を立てる。
\(\displaystyle a=\frac{\,2\,}{\,3\,}~,~b=\frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\frac{\,9\,}{\,18\,}\)
\(\displaystyle 2ab=2\cdot\frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot\frac{\,1\,}{\,3\,}=\frac{\,4\,}{\,9\,}=\frac{\,8\,}{\,18\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle a^2+b^2&=&\left(\frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2+\left(\frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,4\,}{\,9\,}+\frac{\,1\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,5\,}{\,9\,}=\frac{\,10\,}{\,18\,}
\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle a^2+b^2 \gt \frac{\,1\,}{\,2\,} \gt 2ab\) と予想できる。
\(a^2+b^2\) と \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の差より、\(b=1-a\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&a^2+b^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&a^2+(1-a)^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&a^2+1-2a+a^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2a^2-2a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\left(a^2-a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&2\left(a-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2 \gt 0\hspace{20pt}(\,∵~a \neq \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,)
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\displaystyle a^2+b^2 \gt \frac{\,1\,}{\,2\,}~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
次に、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) と \(2ab\) の差より、\(b=1-a\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-2ab
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-2a(1-a)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-2a+2a^2
\\[5pt]~~~&=&2a^2-2a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\left(a^2-a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&2\left(a-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2 \gt 0\hspace{20pt}(\,∵~a \neq \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,)
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \gt 2ab~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\displaystyle a^2+b^2 \gt \frac{\,1\,}{\,2\,} \gt 2ab\)
