- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「負の数の平方根の計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜負の数の平方根の計算
複素数と方程式 09\(\sqrt{-9}-\sqrt{-4}~,~\)\(\sqrt{-2}{\, \small \times \,}\sqrt{-3}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\sqrt{-6}\,}{\,\sqrt{-3}\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,\sqrt{-2}\,}\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
負の数の平方根の計算
Point：負の数の平方根の計算
\(\sqrt{-2}{\, \small \times \,}\sqrt{-3}\)
① 負の数の平方根を虚数単位iで表す。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sqrt{2}i{\, \small \times \,}\sqrt{3}i\end{eqnarray}\)
② 複素数の計算を行う。※ \(i^2=-1\) に注意
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sqrt{6}i^2
\\[3pt]~~~&=&-\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
負の数の平方根の計算は、
\(\sqrt{-2}{\, \small \times \,}\sqrt{-3}\)
① 負の数の平方根を虚数単位iで表す。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sqrt{2}i{\, \small \times \,}\sqrt{3}i\end{eqnarray}\)
② 複素数の計算を行う。※ \(i^2=-1\) に注意
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sqrt{6}i^2
\\[3pt]~~~&=&-\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
※ \(\sqrt{-2}{\, \small \times \,}\sqrt{-3}=\sqrt{(-2){\, \small \times \,}(-3)}\) のように、平方根の計算を先にしてはいけない。
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詳しい解説｜負の数の平方根の計算
複素数と方程式 09
\(\sqrt{-9}-\sqrt{-4}~,~\)\(\sqrt{-2}{\, \small \times \,}\sqrt{-3}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\sqrt{-6}\,}{\,\sqrt{-3}\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,\sqrt{-2}\,}\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
負の数の平方根を虚数単位iで表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{-9}-\sqrt{-4}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{9}i-\sqrt{4}i
\\[3pt]~~~&=&3i-2i
\\[3pt]~~~&=&i\end{eqnarray}\)
負の数の平方根を虚数単位iで表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{-2}{\, \small \times \,}\sqrt{-3}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{2}i{\, \small \times \,}\sqrt{3}i
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{2{\, \small \times \,} 3}\cdot i^2
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{6}{\, \small \times \,}(-1)\hspace{15pt}(\,∵~ i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&-\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
負の数の平方根を虚数単位iで表すと、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&\displaystyle\frac{\,\sqrt{-6}\,}{\,\sqrt{-3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{6}i\,}{\,\sqrt{3}i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{6}\,\cancel{i}\,}{\,\sqrt{3}\,\cancel{i}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
負の数の平方根を虚数単位iで表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,\sqrt{-2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,\sqrt{2}i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,i\,}\end{eqnarray}\)
分母分子に \(i\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}i\,}{\,i^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}i\,}{\,-1\,}\hspace{15pt}(\,∵~ i^2=-1\,)
\\[5pt]~~~&=&-\sqrt{3}i\end{eqnarray}\)
