2乗するとx+yiとなる複素数z

\( a~,~b \) を実数として、複素数 \( z \) を \( z=a+bi \) とおくと、

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\(\begin{eqnarray}~~~z^2&=&(a+bi)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+2abi+b^2i^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+2abi+b^2 \cdot (-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&(a^2-b^2)+2abi\end{eqnarray}\)

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これが、\( 3-4i \) と等しいので、実部と虚部がそれぞれ等しいことより、

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\(~~~~\left\{~\begin{array}{l}a^2-b^2=3~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\[3pt]2ab=-4~~~\hspace{7pt}\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)

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\({\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~2ab&=&-4
\\[3pt]~~~ab&=&-2~~~\cdots{\small [\,3\,]}
\\[3pt]~~~(ab)^2&=&(-2)^2
\\[3pt]~~~a^2b^2&=&4\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より \( a^2=b^2+3 \) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~(b^2+3)b^2&=&4
\\[3pt]~~~b^4+3b^2-4&=&0
\\[3pt]~~~(b^2+4)(b^2-1)&=&0\end{eqnarray}\)

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\( b^2+4 \neq 0 \) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~b^2-1&=&0
\\[3pt]~~~(b+1)(b-1)&=&0
\\[3pt]~~~b&=&\pm 1\end{eqnarray}\)

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\({\small (1)}~\)\( b=1 \) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot 1&=&-2
\\[3pt]~~~a&=&-2\end{eqnarray}\)

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\({\small (2)}~\)\( b=-1 \) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot (-1)&=&-2
\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)

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\({\small (1)}\) と \({\small (2)}\) より、\(a~,~b\) の値は、

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　\( (a~,~b)=(2~,~-1)~,~(-2~,~1) \)

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したがって、

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　\( z=2-i~,~-2+i \) となる