このページは、「2乗するとx+yiとなる複素数z」の練習問題アーカイブページとなります。
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2乗するとx+yiとなる複素数z で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ012乗すると \( 3+4i \) となる複素数 \( z \) を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.68 演習問題A 1
\( a~,~b \) を実数として、複素数 \( z \) を \( z=a+bi \) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~z^2&=&(a+bi)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+2abi+b^2i^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+2abi+b^2 \cdot (-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&(a^2-b^2)+2abi\end{eqnarray}\)
これが、\( 3+4i \) と等しいので、実部と虚部がそれぞれ等しいことより、
\(~~\left\{~\begin{array}{l}a^2-b^2=3~\cdots{\small [\,1\,]}
\\[3pt]2ab=4~~~\hspace{7pt}\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2ab&=&4
\\[3pt]~ab&=&2~\cdots{\small [\,3\,]}
\\[3pt]~~~(ab)^2&=&2^2
\\[3pt]~~~a^2b^2&=&4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \( a^2=b^2+3 \) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(b^2+3)b^2&=&4
\\[3pt]~~~b^4+3b^2-4&=&0
\\[3pt]~~~(b^2+4)(b^2-1)&=&0\end{eqnarray}\)
\( b^2+4 \neq 0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2-1&=&0
\\[3pt]~~~(b+1)(b-1)&=&0
\\[3pt]~~~b&=&\pm 1\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)\( b=1 \) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot 1&=&2
\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\( b=-1 \) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot (-1)&=&2
\\[3pt]~~~a&=&-2\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}\) と \({\small (2)}\) より、\(a~,~b\) の値は、
\( (a~,~b)=(2~,~1)~,~(-2~,~-1) \)
したがって、
\( z=2+i~,~-2-i \) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ022乗して \( 5+12i \) となる複素数 \( z \) は2つある。このような \( z \) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.65 章末問題B 4
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.65 章末問題B 8
\( a~,~b \) を実数として、複素数 \( z \) を \( z=a+bi \) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~z^2&=&(a+bi)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+2abi+b^2i^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+2abi+b^2 \cdot (-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&(a^2-b^2)+2abi\end{eqnarray}\)
これが、\( 5+12i \) と等しいので、実部と虚部がそれぞれ等しいことより、
\(~~\left\{~\begin{array}{l}a^2-b^2=5~\cdots{\small [\,1\,]}
\\[3pt]2ab=12~~~\hspace{7pt}\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2ab&=&12
\\[3pt]~ab&=&6~\cdots{\small [\,3\,]}
\\[3pt]~~~(ab)^2&=&6^2
\\[3pt]~~~a^2b^2&=&36\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \( a^2=b^2+5 \) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(b^2+5)b^2&=&36
\\[3pt]~~~b^4+5b^2-36&=&0
\\[3pt]~~~(b^2+9)(b^2-4)&=&0\end{eqnarray}\)
\( b^2+9 \neq 0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2-4&=&0
\\[3pt]~~~(b+2)(b-2)&=&0
\\[3pt]~~~b&=&\pm 2\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)\( b=2 \) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot 2&=&6
\\[3pt]~~~a&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\( b=-2 \) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot (-2)&=&6
\\[3pt]~~~a&=&-3\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}\) と \({\small (2)}\) より、\(a~,~b\) の値は、
\( (a~,~b)=(3~,~2)~,~(-3~,~-2) \)
したがって、
\( z=3+2i~,~-3-2i \) となる
