- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「複素数範囲の2次方程式の解」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数範囲の2次方程式の解
複素数と方程式 112次方程式 \(x^2+4=0~,~\)\(x^2+x+1=0~,~\)\(x^2-4x+12=0\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
複素数範囲の2次方程式の解
Point：複素数範囲の2次方程式の解
\(x=\displaystyle\frac{\,-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\,}{\,2a\,}\)
\(x=\displaystyle\frac{\,-b^{\prime}\pm\sqrt{{b^{\prime}}^2-ac}\,}{\,a\,}\)
複素数範囲での2次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解の公式は、
\(x=\displaystyle\frac{\,-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\,}{\,2a\,}\)
平方根の中が負の数になっても、虚数単位 \(i\) を用いて虚数解を求める。
また、\(x\) の係数が偶数のとき、\(ax^2+2b^{\prime}x+c=0\) とすると、
\(x=\displaystyle\frac{\,-b^{\prime}\pm\sqrt{{b^{\prime}}^2-ac}\,}{\,a\,}\)
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詳しい解説｜複素数範囲の2次方程式の解
複素数と方程式 11
2次方程式 \(x^2+4=0~,~\)\(x^2+x+1=0~,~\)\(x^2-4x+12=0\) の計算方法は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
複素数範囲で、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+4&=&0
\\[3pt]~~~x^2&=&-4
\\[3pt]~~~x&=&\pm\sqrt{-4}
\\[3pt]~~~x&=&\pm\sqrt{4}~i
\\[3pt]~~~x&=&\pm 2i\end{eqnarray}\)
\(x^2+x+1=0\) より、複素数範囲の解の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle\frac{\,-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}\,}{\,2\cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,-1\pm\sqrt{1-4}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,-1\pm\sqrt{-3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,-1\pm\sqrt{3}~i\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(x^2-4x+12=0\) より、複素数範囲の解の公式を用いると、
\(x\) の係数が偶数で、
\(x^2+2\cdot(-2)x+12=0\) とできるので、
\(x=\displaystyle\frac{\,-b^{\prime}\pm\sqrt{{b^{\prime}}^2-ac}\,}{\,a\,}\)
を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle\frac{\,-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-1\cdot 12}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&2\pm\sqrt{4-12}
\\[3pt]~~~&=&2\pm\sqrt{-8}
\\[3pt]~~~&=&2\pm\sqrt{8}~i
\\[3pt]~~~&=&2\pm 2\sqrt{2}~i\end{eqnarray}\)
