- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「複素数範囲の2次方程式の解の判別式」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数範囲の2次方程式の解の判別式
複素数と方程式 122次方程式 \( 3x^2-5x+7=0~,~\)\( x^2-2\sqrt{2}x+2=0~,~\)\( 2x^2-3\sqrt{3}x-6=0 \) の解の種類の判別方法は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
複素数範囲の2次方程式の解の判別式
Point：複素数範囲の2次方程式の解の判別式
\({\small [\,1\,]}\) \( D \gt 0 \Leftrightarrow \) 異なる2つの実数解
\({\small [\,2\,]}\) \( D=0 \Leftrightarrow \) 重解
\({\small [\,3\,]}\) \( D \lt 0 \Leftrightarrow \) 異なる2つの複素解
をそれぞれもつ。
\( \displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}={b^{\prime}}^2-ac \) とできる。
複素数範囲で、2次方程式 \( ax^2+bx+c=0 \) の解の判別式 \( D=b^2-4ac \) は、
\({\small [\,1\,]}\) \( D \gt 0 \Leftrightarrow \) 異なる2つの実数解
\({\small [\,2\,]}\) \( D=0 \Leftrightarrow \) 重解
\({\small [\,3\,]}\) \( D \lt 0 \Leftrightarrow \) 異なる2つの複素解
をそれぞれもつ。
また、\( x \) の係数が偶数のとき、\( x^2+2{b^{\prime}}x+c=0 \) より、
\( \displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}={b^{\prime}}^2-ac \) とできる。
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詳しい解説｜複素数範囲の2次方程式の解の判別式
複素数と方程式 12
2次方程式 \( 3x^2-5x+7=0~,~\)\( x^2-2\sqrt{2}x+2=0~,~\)\( 2x^2-3\sqrt{3}x-6=0 \) の解の種類の判別方法は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
複素数範囲で、\( 3x^2-5x+7=0 \) の判別式 \( D_1 \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1&=&(-5)^2-4 \cdot 3 \cdot 7
\\[3pt]~~~&=&25-84
\\[3pt]~~~&=&-59 \lt 0\end{eqnarray}\)
よって、\( D_1 \lt 0 \) となるので、
異なる2つの複素解をもつ
複素数範囲で、\( x^2-2\sqrt{2}x+2=0 \) の判別式 \( D_2 \) は、
\(x\) の係数が偶数で、
\(x^2+2 \cdot (-\sqrt{2})x+2=0\) とできるので、
\( \displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}={b^{\prime}}^2-ac \)
を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D_2\,}{\,4\,}&=&(-\sqrt{2})^2-1 \cdot 2
\\[3pt]~~~&=&2-2
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\( D_2=0 \) となるので、
重解をもつ
複素数範囲で、\( 2x^2-3\sqrt{3}x-6=0 \) の判別式 \( D_3 \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~D_3&=&(-3\sqrt{3})^2-4 \cdot 2 \cdot (-6)
\\[3pt]~~~&=&27+48
\\[3pt]~~~&=&75 \gt 0\end{eqnarray}\)
よって、\( D_3 \gt 0 \) となるので、
異なる2つの実数解をもつ
