- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「複素数範囲の2つの2次方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数範囲の2つの2次方程式
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
複素数範囲の2つの2次方程式
2つの2次方程式の一方が実数解、もう一方が虚数解をもつとき、
① それぞれの判別式 \(D_1~,~D_2\) を求める。
② 解の条件で場合分けし、\(m\) の範囲を求める。
\({\small (1)}~\)\(D_1{\small ~≧~}0\) かつ \(D_2\lt 0\)
\({\small (2)}~\)\(D_1\lt 0\) かつ \(D_2{\small ~≧~}0\)
※ 実数解をもつ条件は、異なる2つの実数解 \(D\gt 0\) と重解をもつ条件 \(D=0\) より、\(D{\small ~≧~}0\) となる。
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詳しい解説｜複素数範囲の2つの2次方程式
2次方程式 \(x^2+mx+m=0~,~\)\(x^2-2mx+m+6=0\) の一方が実数解をもち、他方が虚数解をもつとき、実数の定数 \(m\) の値の範囲の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
複素数範囲で、
\(x^2+mx+m=0\) の判別式 \(D_1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1&=&m^2-4\cdot 1\cdot m
\\[3pt]~~~&=&m^2-4m~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(x^2-2mx+m+6=0\) の判別式 \(D_2\) は、
\(x\) の係数が偶数で、
\(x^2+2(-m)x+(m+6)=0\) とできるので、
\( \displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}={b^{\prime}}^2-ac \)
を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D_2\,}{\,4\,}&=&(-m)^2-1\cdot(m+6)
\\[3pt]~~~&=&m^2-m-6~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) \(x^2+mx+m=0\) が実数解、\(x^2-2mx+m+6=0\) が虚数解となるとき、
\(D_1{\small ~≧~}0\) かつ \(D_2\lt 0\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1&=&m^2-4m{\small ~≧~}0
\\[3pt]~~~&&m(m-4){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
\(m{\small ~≦~}0~,~4{\small ~≦~}m\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2&=&m^2-m-6\lt 0
\\[3pt]~~~&&(m-3)(m+2)\lt 0\end{eqnarray}\)
\(-2\lt m\lt 3\)
数直線上に表すと、
よって、\(-2\lt m{\small ~≦~}0\)
\({\small (2)}~\) \(x^2+mx+m=0\) が虚数解、\(x^2-2mx+m+6=0\) が実数解となるとき、
\(D_1\lt 0\) かつ \(D_2{\small ~≧~}0\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1&=&m^2-4m\lt 0
\\[3pt]~~~&&m(m-4)\lt 0\end{eqnarray}\)
\(0\lt m\lt 4\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2&=&m^2-m-6{\small ~≧~}0
\\[3pt]~~~&&(m-3)(m+2){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
\(m{\small ~≦~}-2~,~3{\small ~≦~}m\)
数直線上に表すと、
よって、\(3{\small ~≦~}m\lt 4\)
したがって、\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より求める \(m\) の範囲は、
\(-2\lt m{\small ~≦~}0~,~3{\small ~≦~}m\lt 4\)
