このページは、「複素数範囲の2つの2次方程式」の練習問題アーカイブページとなります。
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複素数範囲の2つの2次方程式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ012つの2次方程式 \(x^2+(m+1)x+m^2=0~,~\)\(x^2+2mx+2m=0\) の一方が異なる2つの実数解をもち、他方が虚数解をもつとき、定数 \(m\) の値の範囲を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.68 演習問題A 3
複素数範囲で、
\(x^2+(m+1)x+m^2=0\) の判別式 \(D_1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1&=&(m+1)^2-4\cdot 1\cdot m^2
\\[3pt]~~~&=&m^2+2m+1-4m^2
\\[3pt]~~~&=&-3m^2+2m+1~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(x^2+2mx+2m=0\) の判別式 \(D_2\) は、
\(x^2+2\cdot m\cdot x+2m=0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D_2\,}{\,4\,}&=&m^2-1\cdot 2m
\\[3pt]~~~&=&m^2-2m~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) \(x^2+(m+1)x+m^2=0\) が異なる2つの実数解、\(x^2+2mx+2m=0\) が虚数解となるとき、
\(D_1\gt 0\) かつ \(D_2\lt 0\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1&=&-3m^2+2m+1\gt 0
\\[3pt]~~~&&3m^2-2m-1\lt 0
\\[3pt]~~~&&(3m+1)(m-1)\lt 0\end{eqnarray}\)
\(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\lt m\lt 1\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2&=&m^2-2m\lt 0
\\[3pt]~~~&&m(m-2)\lt 0\end{eqnarray}\)
\(0\lt m\lt 2\)
共通範囲より、\(0\lt m\lt 1\)
\({\small (2)}~\) \(x^2+(m+1)x+m^2=0\) が虚数解、\(x^2+2mx+2m=0\) が異なる2つの実数解となるとき、
\(D_1\lt 0\) かつ \(D_2\gt 0\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1&=&-3m^2+2m+1\lt 0
\\[3pt]~~~&&3m^2-2m-1\gt 0
\\[3pt]~~~&&(3m+1)(m-1)\gt 0\end{eqnarray}\)
\(m\lt -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~1\lt m\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2&=&m^2-2m\gt 0
\\[3pt]~~~&&m(m-2)\gt 0\end{eqnarray}\)
\(m\lt 0~,~2\lt m\)
共通範囲より、\(m\lt -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~2\lt m\)
したがって、\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より求める \(m\) の範囲は、
\(m\lt -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~0\lt m\lt 1~,~2\lt m\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の2つの2次方程式の一方が異なる2つの実数解をもち、他方が虚数解をもつような定数 \(a\) の値の範囲を求めよ。
\(x^2-2x+a=0~,~\)\(x^2+4x-2a=0\)
\(x^2-2x+a=0~,~\)\(x^2+4x-2a=0\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.60 問題 3
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.64 Level Up 5
複素数範囲で、
\(x^2-2x+a=0\) の判別式 \(D_1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D_1\,}{\,4\,}&=&(-1)^2-1\cdot a
\\[3pt]~~~&=&1-a~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(x^2+4x-2a=0\) の判別式 \(D_2\) は、
\(x^2+2\cdot 2\cdot x+(-2a)=0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D_2\,}{\,4\,}&=&2^2-1\cdot(-2a)
\\[3pt]~~~&=&4+2a~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\) \(x^2-2x+a=0\) が異なる2つの実数解、\(x^2+4x-2a=0\) が虚数解となるとき、
\(D_1\gt 0\) かつ \(D_2\lt 0\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1&=&1-a\gt 0
\\[3pt]~~~&&a\lt 1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2&=&4+2a\lt 0
\\[3pt]~~~&&a\lt -2\end{eqnarray}\)
共通範囲より、\(a\lt -2\)
\({\small (2)}~\) \(x^2-2x+a=0\) が虚数解、\(x^2+4x-2a=0\) が異なる2つの実数解となるとき、
\(D_1\lt 0\) かつ \(D_2\gt 0\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~D_1&=&1-a\lt 0
\\[3pt]~~~&&a\gt 1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~D_2&=&4+2a\gt 0
\\[3pt]~~~&&a\gt -2\end{eqnarray}\)
共通範囲より、\(a\gt 1\)
したがって、\({\small (1)}~,~{\small (2)}\) より求める \(a\) の範囲は、
\(a\lt -2~,~1\lt a\)
