- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「解と係数の関係と対称式の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜解と係数の関係と対称式の値
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
解と係数の関係と対称式の値
2次方程式の2つの解 \(\alpha~,~\beta\) を用いた対称式の値の求め方は、
① 解と係数の関係より、\(\alpha+\beta\) と \(\alpha\beta\) の値を求める。
② 求めたい対称式を \(\alpha+\beta\) と \(\alpha\beta\) で表し、値を代入する。
\(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\)
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}+\frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}=\frac{\,(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\,}{\,\alpha\beta\,}\)
\((\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\)
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詳しい解説｜解と係数の関係と対称式の値
2次方程式 \(x^2-2x+3=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とするとき、式 \(\alpha^2+\beta^2~,~\)\(\alpha^3+\beta^3~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}+\frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}~,~\)\((\alpha-\beta)^2\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
2次方程式の解と係数の関係より、
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}\alpha+\beta=-\displaystyle \frac{\,-2\,}{\,1\,}=2
\\[5pt]\alpha\beta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,1\,}=3\end{array}\right.~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\alpha^2+\beta^2
\\[3pt]~~~&=&(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta
\\[3pt]~~~&=&2^2-2\cdot 3\hspace{15pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&4-6
\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\alpha^3+\beta^3
\\[3pt]~~~&=&(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)
\\[3pt]~~~&=&2^3-3\cdot 3\cdot 2\hspace{15pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&8-18
\\[3pt]~~~&=&-10\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}+\frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\alpha^2+\beta^2\,}{\,\alpha\beta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\,}{\,\alpha\beta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^2-2\cdot 3\,}{\,3\,}\hspace{15pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4-6\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\alpha-\beta)^2
\\[3pt]~~~&=&\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2
\\[3pt]~~~&=&(\alpha^2+\beta^2)-2\alpha\beta
\\[3pt]~~~&=&(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta-2\alpha\beta
\\[3pt]~~~&=&(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta
\\[3pt]~~~&=&2^2-4\cdot 3\hspace{15pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&4-12
\\[3pt]~~~&=&-8\end{eqnarray}\)
