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問題アーカイブ01
問題アーカイブ012次方程式 \(x^2+kx-k-1=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とする。\(\alpha^2+\beta^2=10\) となるような定数 \(k\) の値を求めよ。また、そのときの \(\alpha~,~\beta\) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.60 練習問題A 4
京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.64 Level Up 6
2次方程式の解と係数の関係より、
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}\alpha+\beta=-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,1\,}=-k
\\[5pt]\alpha\beta=\displaystyle \frac{\,-k-1\,}{\,1\,}=-k-1\end{array}\right.~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\alpha^2+\beta^2
\\[3pt]~~~&=&(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta
\\[3pt]~~~&=&(-k)^2-2(-k-1)\hspace{15pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&k^2+2k+2\end{eqnarray}\)
\(\alpha^2+\beta^2=10\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~k^2+2k+2&=&10
\\[3pt]~~~k^2+2k-8&=&0
\\[3pt]~~~(k+4)(k-2)&=&0
\\[3pt]~~~k&=&-4~,~2\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)\(k=-4\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}\alpha+\beta=4
\\[5pt]\alpha\beta=3\end{array}\right.\)
よって、\(\alpha~,~\beta\) は2次方程式 \(t^2-4t+3=0\) の解であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~(t-1)(t-3)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&1~,~3\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\alpha=1~,~\beta=3\) または \(\alpha=3~,~\beta=1\)
\({\small (2)}~\)\(k=2\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}\alpha+\beta=-2
\\[5pt]\alpha\beta=-3\end{array}\right.\)
よって、\(\alpha~,~\beta\) は2次方程式 \(t^2+2t-3=0\) の解であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~(t+3)(t-1)&=&0
\\[3pt]~~~t&=&-3~,~1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\alpha=-3~,~\beta=1\) または \(\alpha=1~,~\beta=-3\)
