- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「2次方程式の2つの解の条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次方程式の2つの解の条件
複素数と方程式 172次方程式 \(x^2+mx+18=0\) において、1つの解が他の解の2倍であるとき、実数の定数 \(m\) の値と2次方程式の2つの解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
2次方程式の2つの解の条件
Point：2次方程式の2つの解の条件
① 2つの解の条件より、2つの解を1つの文字 \(\alpha\) で表す。
1つの解 \(\alpha\) → もう一方の解 \(2\alpha\)
② 解と係数の関係の式を立て、未知数を求める。
2次方程式の2つの解の条件（1つの解が他の解の2倍など）が与えられたとき
① 2つの解の条件より、2つの解を1つの文字 \(\alpha\) で表す。
1つの解 \(\alpha\) → もう一方の解 \(2\alpha\)
② 解と係数の関係の式を立て、未知数を求める。
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詳しい解説｜2次方程式の2つの解の条件
複素数と方程式 17
2次方程式 \(x^2+mx+18=0\) において、1つの解が他の解の2倍であるとき、実数の定数 \(m\) の値と2次方程式の2つの解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
この2次方程式の1つの解を \(\alpha\) とすると、もう1つの解はその \(2\) 倍であるので \(2\alpha\) となる
2つの解 \(\alpha~,~2\alpha\) の解と係数の関係より、
2つの解の和は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+2\alpha&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,1\,}
\\[3pt]~~~3\alpha&=&-m~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
2つの解の積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha \cdot 2\alpha&=&\displaystyle \frac{\,18\,}{\,1\,}
\\[3pt]~~~2\alpha^2&=&18
\\[3pt]~~~\alpha^2&=&9
\\[3pt]~~~\alpha&=&\pm 3\end{eqnarray}\)
\(\alpha=3\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3 \cdot 3&=&-m
\\[3pt]~~~m&=&-9\end{eqnarray}\)
\(\alpha=-3\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3 \cdot (-3)&=&-m
\\[3pt]~~~m&=&9\end{eqnarray}\)
したがって、
\(m=9\) のとき、2つの解は \(-3~,~-6\)
\(m=-9\) のとき、2つの解は \(3~,~6\)
