このページは、「2次方程式の2つの解の条件」の練習問題アーカイブページとなります。
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2次方程式の2つの解の条件 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ012次方程式 \(2x^2+3x+m=0\) において、1つの解が他の解の2倍であるとき、定数 \(m\) の値と2つの解を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.51 練習13
この2次方程式の1つの解を \(\alpha\) とすると、もう1つの解はその \(2\) 倍であるので \(2\alpha\) となる
2つの解 \(\alpha~,~2\alpha\) の解と係数の関係より、
2つの解の和は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+2\alpha&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[3pt]~3\alpha&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\\[3pt]~\alpha&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
2つの解の積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha \cdot 2\alpha&=&\displaystyle \frac{\,m\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2\alpha^2&=&\displaystyle \frac{\,m\,}{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2&=&\displaystyle \frac{\,m\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,m\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,m\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~m&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、2つの解は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~2\alpha&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(m=1\) のとき、2つの解は \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~-1\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ022次方程式 \(4x^2+mx-3=0\) において、1つの解が他の解に2を加えた数であるとき、定数 \(m\) の値と2つの解を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.51 練習14
この2次方程式の1つの解を \(\alpha\) とすると、もう1つの解はそれに \(2\) を加えた数であるので \(\alpha+2\) となる
2つの解 \(\alpha~,~\alpha+2\) の解と係数の関係より、
2つの解の和は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+(\alpha+2)&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}
\\[3pt]~~~2\alpha+2&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
2つの解の積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha \cdot (\alpha+2)&=&\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,4\,}
\\[3pt]~~~\alpha^2+2\alpha&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}
\\[3pt]~~~4\alpha^2+8\alpha&=&-3
\\[3pt]~~~4\alpha^2+8\alpha+3&=&0
\\[3pt]~~~(2\alpha+1)(2\alpha+3)&=&0
\\[3pt]~~~\alpha&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\alpha=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)+2&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~-1+2&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~1&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~m&=&-4\end{eqnarray}\)
\(\alpha=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)+2&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~-3+2&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~-1&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~m&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、
\(m=-4\) のとき、2つの解は \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
\(m=4\) のとき、2つの解は \(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ032次方程式 \(x^2+5x+m=0\) の2つの解が次の条件を満たすとき、定数 \(m\) の値と2つの解を、それぞれ求めよ。
\({\small (1)}~\) 1つの解が他の解の4倍である。
\({\small (2)}~\) 2つの解の差が1である。
\({\small (1)}~\) 1つの解が他の解の4倍である。
\({\small (2)}~\) 2つの解の差が1である。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.49 練習15
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.50 練習16
\({\small (1)}~\)この2次方程式の1つの解を \(\alpha\) とすると、もう1つの解はその \(4\) 倍であるので \(4\alpha\) となる
2つの解 \(\alpha~,~4\alpha\) の解と係数の関係より、
2つの解の和は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+4\alpha&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,1\,}
\\[3pt]~~~5\alpha&=&-5
\\[3pt]~~~\alpha&=&-1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
2つの解の積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha \cdot 4\alpha&=&\displaystyle \frac{\,m\,}{\,1\,}
\\[3pt]~~~4\alpha^2&=&m~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4 \cdot (-1)^2&=&m
\\[3pt]~~~m&=&4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、2つの解は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha&=&-1
\\[3pt]~~~4\alpha&=&-4\end{eqnarray}\)
したがって、
\(m=4\) のとき、2つの解は \(-1~,~-4\)
\({\small (2)}~\)この2次方程式の1つの解を \(\alpha\) とすると、2つの解の差が \(1\) であるので、もう1つの解は \(\alpha+1\) となる
2つの解 \(\alpha~,~\alpha+1\) の解と係数の関係より、
2つの解の和は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+(\alpha+1)&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,1\,}
\\[3pt]~~~2\alpha+1&=&-5
\\[3pt]~~~2\alpha&=&-6
\\[3pt]~~~\alpha&=&-3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
2つの解の積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha \cdot (\alpha+1)&=&\displaystyle \frac{\,m\,}{\,1\,}
\\[3pt]~~~\alpha^2+\alpha&=&m~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(-3)^2+(-3)&=&m
\\[3pt]~~~9-3&=&m
\\[3pt]~~~m&=&6\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、2つの解は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha&=&-3
\\[3pt]~~~\alpha+1&=&-2\end{eqnarray}\)
したがって、
\(m=6\) のとき、2つの解は \(-3~,~-2\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ042次方程式 \(4x^2+mx+3=0\) の1つの解が他の解に1加えた数となるように、定数 \(m\) の値を定めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.29 問17
この2次方程式の1つの解を \(\alpha\) とすると、もう1つの解は \(1\) 加えた数であるので \(\alpha+1\) となる
2つの解 \(\alpha~,~\alpha+1\) の解と係数の関係より、
2つの解の和は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+(\alpha+1)&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}
\\[3pt]~~~2\alpha+1&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
2つの解の積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha \cdot (\alpha+1)&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}
\\[3pt]~~~\alpha^2+\alpha&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}
\\[3pt]~~~4\alpha^2+4\alpha&=&3
\\[3pt]~~~4\alpha^2+4\alpha-3&=&0
\\[3pt]~~~(2\alpha+3)(2\alpha-1)&=&0
\\[3pt]~~~\alpha&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\alpha=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)+1&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~-3+1&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~-2&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~m&=&8\end{eqnarray}\)
\(\alpha=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+1&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~1+1&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~2&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~m&=&-8\end{eqnarray}\)
したがって、
\(m=8~,~-8\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ052次方程式 \(x^2+mx+2=0\) の1つの解が他の解に1加えた数となるように、定数 \(m\) の値を定めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.35 問17
この2次方程式の1つの解を \(\alpha\) とすると、もう1つの解は \(1\) 加えた数であるので \(\alpha+1\) となる
2つの解 \(\alpha~,~\alpha+1\) の解と係数の関係より、
2つの解の和は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+(\alpha+1)&=&-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,1\,}
\\[3pt]~~~2\alpha+1&=&-m~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
2つの解の積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha \cdot (\alpha+1)&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1\,}
\\[3pt]~~~\alpha^2+\alpha&=&2
\\[3pt]~~~\alpha^2+\alpha-2&=&0
\\[3pt]~~~(\alpha+2)(\alpha-1)&=&0
\\[3pt]~~~\alpha&=&-2~,~1\end{eqnarray}\)
\(\alpha=-2\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot (-2)+1&=&-m
\\[3pt]~~~-4+1&=&-m
\\[3pt]~~~-3&=&-m
\\[3pt]~~~m&=&3\end{eqnarray}\)
\(\alpha=1\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot 1+1&=&-m
\\[3pt]~~~2+1&=&-m
\\[3pt]~~~3&=&-m
\\[3pt]~~~m&=&-3\end{eqnarray}\)
したがって、
\(m=3~,~-3\)
