- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「複素数範囲での2次式の因数分解」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数範囲での2次式の因数分解
複素数と方程式 182次式 \( x^2-2x-6 ~,~\)\( 2x^2-x+1 \) を複素数範囲で因数分解する方法は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
複素数範囲での2次式の因数分解
Point：複素数範囲での2次式の因数分解
① 2次方程式 \( ax^2+bx+c=0 \) の解を、解の公式より求める。
\( x=\displaystyle \frac{\,-b\pm\sqrt{\,b^2-4ac\,}\,}{\,2a\,} \)
② 2つの解 \( \alpha \)、\( \beta \) を用いて、2次式を因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&ax^2+bx+c
\\[3pt]~~~&=&a(x-\alpha)(x-\beta)\end{eqnarray}\)
※ \(x^2\) の係数の \(a\) を忘れないように。
複素数範囲での2次式 \( ax^2+bx+c \) の因数分解は、
① 2次方程式 \( ax^2+bx+c=0 \) の解を、解の公式より求める。
\( x=\displaystyle \frac{\,-b\pm\sqrt{\,b^2-4ac\,}\,}{\,2a\,} \)
② 2つの解 \( \alpha \)、\( \beta \) を用いて、2次式を因数分解する。
\(\begin{eqnarray}~~~&&ax^2+bx+c
\\[3pt]~~~&=&a(x-\alpha)(x-\beta)\end{eqnarray}\)
※ \(x^2\) の係数の \(a\) を忘れないように。
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詳しい解説｜複素数範囲での2次式の因数分解
複素数と方程式 18
2次式 \( x^2-2x-6 ~,~\)\( 2x^2-x+1 \) を複素数範囲で因数分解する方法は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
2次方程式 \( x^2-2x-6=0 \) の解は、
\(x\) の係数が偶数で、
\(x^2+2\cdot(-1)x-6=0\) とできるので、
\(x=\displaystyle\frac{\,-b^{\prime}\pm\sqrt{{b^{\prime}}^2-ac}\,}{\,a\,}\)
を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-1)\pm\sqrt{\,(-1)^2-1\cdot(-6)\,}\,}{\,1\,}
\\[3pt]~~~&=&1\pm\sqrt{\,1+6\,}
\\[3pt]~~~&=&1\pm\sqrt{\,7\,}\end{eqnarray}\)
これより、2次式 \( x^2-2x-6 \) を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2-2x-6
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,x-(1+\sqrt{\,7\,})\,\right\}\left\{\,x-(1-\sqrt{\,7\,})\,\right\}
\\[3pt]~~~&=&(x-1-\sqrt{\,7\,})(x-1+\sqrt{\,7\,})\end{eqnarray}\)
2次方程式 \( 2x^2-x+1=0 \) の解は、解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-1)\pm\sqrt{\,(-1)^2-4\cdot 2\cdot 1\,}\,}{\,2\cdot 2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{\,1-8\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{\,-7\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{\,7\,}\,i\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
これより、2次式 \( 2x^2-x+1 \) を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2x^2-x+1
\\[5pt]~~~&=&2\left(\,x-\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,7\,}\,i\,}{\,4\,}\,\right)\left(\,x-\displaystyle \frac{\,1-\sqrt{\,7\,}\,i\,}{\,4\,}\,\right)\end{eqnarray}\)
※ \(x^2\) の係数の \(2\) を忘れないように。
