- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「有理数・実数・複素数範囲での因数分解」の基本例題解説ページです。
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問題｜有理数・実数・複素数範囲での因数分解
複素数と方程式 194次式 \(x^4-9\) を有理数範囲、実数範囲、複素数範囲で因数分解する方法は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
有理数・実数・複素数範囲での因数分解
Point：有理数・実数・複素数範囲での因数分解
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^4-9
\\[3pt]~~~&=&(x^2+3)(x^2-3)\end{eqnarray}\)
実数範囲の因数分解は、無理数が使えるようになるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+3)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\end{eqnarray}\)
複素数範囲の因数分解は、虚数を含む数が使えるようになるので、
有理数範囲の因数分解は、無理数や虚数を含む数が使えないので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^4-9
\\[3pt]~~~&=&(x^2+3)(x^2-3)\end{eqnarray}\)
実数範囲の因数分解は、無理数が使えるようになるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+3)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\end{eqnarray}\)
複素数範囲の因数分解は、虚数を含む数が使えるようになるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+\sqrt{3}i)(x-\sqrt{3}i)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜有理数・実数・複素数範囲での因数分解
複素数と方程式 19
4次式 \(x^4-9\) を有理数範囲、実数範囲、複素数範囲で因数分解する方法は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
有理数範囲で因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^4-9
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2-3^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2+3)(x^2-3)\end{eqnarray}\)
\(x^2-3=0\) の解が、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&3
\\[3pt]~~~x&=&\pm\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
これより、実数範囲で因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^4-9
\\[3pt]~~~&=&(x^2+3)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\end{eqnarray}\)
\(x^2+3=0\) の解が、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&-3
\\[3pt]~~~x&=&\pm\sqrt{-3}
\\[3pt]~~~x&=&\pm\sqrt{3}i\end{eqnarray}\)
これより、複素数範囲で因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^4-9
\\[3pt]~~~&=&(x+\sqrt{3}i)(x-\sqrt{3}i)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(x+\sqrt{3}i)(x-\sqrt{3}i)(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\end{eqnarray}\)
