- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「2数を解とする2次方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜2数を解とする2次方程式
複素数と方程式 202数 \(1+\sqrt{3}i~~,~\)\(1-\sqrt{3}i\) を解とする2次方程式の作り方は？また、2数 \(3~,~\)\(-5\) を解とする2次方程式の作り方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
2数を解とする2次方程式
Point：2数を解とする2次方程式
① 2数の和と積を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+\beta&=&p
\\[5pt]~~~\alpha\beta&=&q\end{eqnarray}\)
② 解と係数の関係より、この2数を解とする2次方程式の1つを求める。
\(x^2-px+q=0\)
※ \(x^2-\)和\(x+\)積\(=0\) となる。
与えられた2数 \(\alpha~,~\)\(\beta\) を解とする2次方程式は、
① 2数の和と積を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+\beta&=&p
\\[5pt]~~~\alpha\beta&=&q\end{eqnarray}\)
② 解と係数の関係より、この2数を解とする2次方程式の1つを求める。
\(x^2-px+q=0\)
※ \(x^2-\)和\(x+\)積\(=0\) となる。
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詳しい解説｜2数を解とする2次方程式
複素数と方程式 20
2数 \(1+\sqrt{3}i~~,~\)\(1-\sqrt{3}i\) を解とする2次方程式の作り方は？また、2数 \(3~,~\)\(-5\) を解とする2次方程式の作り方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
2数 \(1+\sqrt{3}i~,~\)\(1-\sqrt{3}i\) の和と積は、
\(\begin{eqnarray}~~~(1+\sqrt{3}i)+(1-\sqrt{3}i)&=&1+1+\sqrt{3}i-\sqrt{3}i
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(1+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)&=&1^2-(\sqrt{3}i)^2
\\[3pt]~~~&=&1-3i^2
\\[3pt]~~~&=&1-3\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&1+3
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&1-3i^2
\\[3pt]~~~&=&1-3\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&1+3
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
これより、この2数を解とする2次方程式の1つは、
\(x^2-2x+4=0\)
2数 \(3~,~\)\(-5\) の和と積は、
\(\begin{eqnarray}~~~3+(-5)&=&-2
\\[5pt]~~~3{\, \small \times \,}(-5)&=&-15\end{eqnarray}\)
これより、この2数を解とする2次方程式の1つは、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-(-2)x-15&=&0
\\[3pt]~~~x^2+2x-15&=&0\end{eqnarray}\)
