- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「2次方程式の実数解の符号」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次方程式の実数解の符号
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
2次方程式の実数解の符号
2次方程式の実数解の符号の条件は、
① 判別式 \(D\) と2つの解 \(\alpha~,~\beta\) の和と積を解と係数の関係から求める。
\(D~,~\alpha+\beta~,~\alpha\beta\)
② 実数解の符号の条件式より、不等式を解き共通範囲を答える。
\(\small [\,1\,]\) 異なる2つの正の解をもつ
\(D \gt 0\) かつ \(\alpha+\beta \gt 0\) かつ \(\alpha\beta \gt 0\)
\(\small [\,2\,]\) 異なる2つの負の解をもつ
\(D \gt 0\) かつ \(\alpha+\beta \lt 0\) かつ \(\alpha\beta \gt 0\)
\(\small [\,3\,]\) 異符号の解をもつ（正の解と負の解）
\(\alpha\beta \lt 0\)
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詳しい解説｜2次方程式の実数解の符号
2次方程式 \(x^2-2mx+m+6=0\) が異なる2つの正の解をもつとき、異なる2つの負の解をもつとき、異符号の解をもつとき、それぞれの実数の定数 \(m\) の値の範囲の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
\(x^2-2mx+m+6=0\) の判別式 \(D\) は、
\(x\) の係数が偶数で、
\(x^2+2 \cdot (-m)x+(m+6)=0\) とできるので、
\( \displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}={b^{\prime}}^2-ac \)
を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(-m)^2-1 \cdot (m+6)
\\[3pt]~~~&=&m^2-m-6~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、この2次方程式の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とし、解と係数の関係より、
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}\alpha+\beta=-\displaystyle \frac{\,-2m\,}{\,1\,}=2m~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\\[5pt]\alpha\beta=\displaystyle \frac{\,m+6\,}{\,1\,}=m+6~~~\hspace{3pt}\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)
異なる2つの正の解をもつときは、
\(D \gt 0\) かつ \(\alpha+\beta \gt 0\) かつ \(\alpha\beta \gt 0\)
異なる2つの解をもつので、\(D \gt 0\)
2つの正の解の和は正 \(\alpha+\beta \gt 0\)
2つの正の解の積も正 \(\alpha\beta \gt 0\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~m^2-m-6&\gt&0
\\[3pt]~~~(m+2)(m-3)&\gt&0
\\[3pt]~~~m&\lt&-2~,~3 \lt m\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+\beta=2m&\gt&0
\\[3pt]~~~m&\gt&0\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta=m+6&\gt&0
\\[3pt]~~~m&\gt&-6\end{eqnarray}\)
数直線上にまとめると、
共通範囲より、\(m \gt 3\) となる
異なる2つの負の解をもつときは、
\(D \gt 0\) かつ \(\alpha+\beta \lt 0\) かつ \(\alpha\beta \gt 0\)
異なる2つの解をもつので、\(D \gt 0\)
2つの負の解の和は負 \(\alpha+\beta \lt 0\)
2つの負の解の積は正 \(\alpha\beta \gt 0\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(m \lt -2~,~3 \lt m\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+\beta=2m&\lt&0
\\[3pt]~~~m&\lt&0\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta=m+6&\gt&0
\\[3pt]~~~m&\gt&-6\end{eqnarray}\)
数直線上にまとめると、
共通範囲より、\(-6 \lt m \lt -2\) となる
異符号の解をもつときは、
\(\alpha\beta \lt 0\)
異符号の2つの解の積が負 \(\alpha\beta \lt 0\)
判別式と和の条件は不要
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta=m+6&\lt&0
\\[3pt]~~~m&\lt&-6\end{eqnarray}\)
よって、\(m \lt -6\) となる
