このページは、「2次方程式の実数解の符号」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
2次方程式の実数解の符号 で確認できます。
問題アーカイブ01
\({\small (1)}~\) 2つとも正
\({\small (2)}~\) 2つとも負
\({\small (3)}~\) 異符号
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.55 練習19
\(x^2+mx+m+3=0\) の判別式 \(D\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~D&=&m^2-4 \cdot 1 \cdot (m+3)
\\[3pt]~~~&=&m^2-4m-12~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、この2次方程式の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とし、解と係数の関係より、
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}\alpha+\beta=-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,1\,}=-m~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\\[5pt]\alpha\beta=\displaystyle \frac{\,m+3\,}{\,1\,}=m+3~~~\hspace{3pt}\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)
異なる2つの正の解をもつときは、
\(D \gt 0\) かつ \(\alpha+\beta \gt 0\) かつ \(\alpha\beta \gt 0\)
異なる2つの解をもつので、\(D \gt 0\)
2つの正の解の和は正 \(\alpha+\beta \gt 0\)
2つの正の解の積も正 \(\alpha\beta \gt 0\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~m^2-4m-12&\gt&0
\\[3pt]~~~(m+2)(m-6)&\gt&0
\\[3pt]~~~m&\lt&-2~,~6 \lt m\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+\beta=-m&\gt&0
\\[3pt]~~~m&\lt&0\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta=m+3&\gt&0
\\[3pt]~~~m&\gt&-3\end{eqnarray}\)
数直線上にまとめると、
共通範囲より、\(-3 \lt m \lt -2\) となる
異なる2つの負の解をもつときは、
\(D \gt 0\) かつ \(\alpha+\beta \lt 0\) かつ \(\alpha\beta \gt 0\)
異なる2つの解をもつので、\(D \gt 0\)
2つの負の解の和は負 \(\alpha+\beta \lt 0\)
2つの負の解の積は正 \(\alpha\beta \gt 0\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(m \lt -2~,~6 \lt m\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+\beta=-m&\lt&0
\\[3pt]~~~m&\gt&0\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta=m+3&\gt&0
\\[3pt]~~~m&\gt&-3\end{eqnarray}\)
数直線上にまとめると、
共通範囲より、\(m \gt 6\) となる
異符号の解をもつときは、
\(\alpha\beta \lt 0\)
異符号の2つの解の積が負 \(\alpha\beta \lt 0\)
判別式と和の条件は不要
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta=m+3&\lt&0
\\[3pt]~~~m&\lt&-3\end{eqnarray}\)
よって、\(m \lt -3\) となる
問題アーカイブ02
\({\small (1)}~\) 異なる2つの正の解
\({\small (2)}~\) 異なる2つの負の解
\({\small (3)}~\) 正の解と負の解
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.53 練習20
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.53 研究 練習1
\(x^2+2(m-3)x+4m=0\) の判別式 \(D\) は、
\(x\) の係数が偶数で、
\(x^2+2 \cdot (m-3)x+4m=0\) とできるので、
\( \displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}={b^{\prime}}^2-ac \)
を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(m-3)^2-1 \cdot 4m
\\[3pt]~~~&=&m^2-6m+9-4m
\\[3pt]~~~&=&m^2-10m+9~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、この2次方程式の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とし、解と係数の関係より、
\\[5pt]\alpha\beta=\displaystyle \frac{\,4m\,}{\,1\,}=4m~~~\hspace{3pt}\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)
異なる2つの正の解をもつときは、
\(D \gt 0\) かつ \(\alpha+\beta \gt 0\) かつ \(\alpha\beta \gt 0\)
異なる2つの解をもつので、\(D \gt 0\)
2つの正の解の和は正 \(\alpha+\beta \gt 0\)
2つの正の解の積も正 \(\alpha\beta \gt 0\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~m^2-10m+9&\gt&0
\\[3pt]~~~(m-1)(m-9)&\gt&0
\\[3pt]~~~m&\lt&1~,~9 \lt m\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+\beta=-2(m-3)&\gt&0
\\[3pt]~~~m-3&\lt&0
\\[3pt]~~~m&\lt&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta=4m&\gt&0
\\[3pt]~~~m&\gt&0\end{eqnarray}\)
数直線上にまとめると、
共通範囲より、\(0 \lt m \lt 1\) となる
異なる2つの負の解をもつときは、
\(D \gt 0\) かつ \(\alpha+\beta \lt 0\) かつ \(\alpha\beta \gt 0\)
異なる2つの解をもつので、\(D \gt 0\)
2つの負の解の和は負 \(\alpha+\beta \lt 0\)
2つの負の解の積は正 \(\alpha\beta \gt 0\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(m \lt 1~,~9 \lt m\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+\beta=-2(m-3)&\lt&0
\\[3pt]~~~m-3&\gt&0
\\[3pt]~~~m&\gt&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta=4m&\gt&0
\\[3pt]~~~m&\gt&0\end{eqnarray}\)
数直線上にまとめると、
共通範囲より、\(m \gt 9\) となる
正の解と負の解をもつときは、
\(\alpha\beta \lt 0\)
異符号の2つの解の積が負 \(\alpha\beta \lt 0\)
判別式と和の条件は不要
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta=4m&\lt&0
\\[3pt]~~~m&\lt&0\end{eqnarray}\)
よって、\(m \lt 0\) となる
問題アーカイブ03
\({\small (1)}~\) 異なる2つの負の解をもつ
\({\small (2)}~\) 正の解と負の解をもつ
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.34 問23
\(x^2+2(k+1)x-2k+6=0\) の判別式 \(D\) は、
\(x\) の係数が偶数で、
\(x^2+2 \cdot (k+1)x+(-2k+6)=0\) とできるので、
\( \displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}={b^{\prime}}^2-ac \)
を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(k+1)^2-1 \cdot (-2k+6)
\\[3pt]~~~&=&k^2+2k+1+2k-6
\\[3pt]~~~&=&k^2+4k-5~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、この2次方程式の2つの解を \(\alpha~,~\beta\) とし、解と係数の関係より、
\\[5pt]\alpha\beta=\displaystyle \frac{\,-2k+6\,}{\,1\,}=-2k+6~~~\hspace{3pt}\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)
異なる2つの負の解をもつときは、
\(D \gt 0\) かつ \(\alpha+\beta \lt 0\) かつ \(\alpha\beta \gt 0\)
異なる2つの解をもつので、\(D \gt 0\)
2つの負の解の和は負 \(\alpha+\beta \lt 0\)
2つの負の解の積は正 \(\alpha\beta \gt 0\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~k^2+4k-5&\gt&0
\\[3pt]~~~(k+5)(k-1)&\gt&0
\\[3pt]~~~k&\lt&-5~,~1 \lt k\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+\beta=-2(k+1)&\lt&0
\\[3pt]~~~k+1&\gt&0
\\[3pt]~~~k&\gt&-1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta=-2k+6&\gt&0
\\[3pt]~~~-2k&\gt&-6
\\[3pt]~~~k&\lt&3\end{eqnarray}\)
数直線上にまとめると、
共通範囲より、\(1 \lt k \lt 3\) となる
正の解と負の解をもつときは、
\(\alpha\beta \lt 0\)
異符号の2つの解の積が負 \(\alpha\beta \lt 0\)
判別式と和の条件は不要
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta=-2k+6&\lt&0
\\[3pt]~~~-2k&\lt&-6
\\[3pt]~~~k&\gt&3\end{eqnarray}\)
よって、\(k \gt 3\) となる
