- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「2次方程式の1つの虚数解」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次方程式の1つの虚数解
複素数と方程式 24☆2次方程式 \(x^2+ax+b=0\) が解 \(2-\sqrt{3}i\) をもつとき、実数の定数 \(a~,~b\) の値と他の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
2次方程式の1つの虚数解
Point：2次方程式の1つの虚数解
① この虚数解の共役な複素数も解にもつことより、共役な複素数を求める。
他の解は \(2+\sqrt{3}i\)
② この2つの解の和と積の値を求めて、解と係数の関係より2次方程式を求める。
和が \(4\)、積が \(7\) より、
\(x^2-4x+7=0\)
2次方程式の1つの虚数解 \(2-\sqrt{3}i\) が与えられたとき、
① この虚数解の共役な複素数も解にもつことより、共役な複素数を求める。
他の解は \(2+\sqrt{3}i\)
② この2つの解の和と積の値を求めて、解と係数の関係より2次方程式を求める。
和が \(4\)、積が \(7\) より、
\(x^2-4x+7=0\)
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詳しい解説｜2次方程式の1つの虚数解
複素数と方程式 24☆
2次方程式 \(x^2+ax+b=0\) が解 \(2-\sqrt{3}i\) をもつとき、実数の定数 \(a~,~b\) の値と他の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
この2次方程式の解の1つが \(2-\sqrt{3}i\) より、共役な複素数の \(2+\sqrt{3}i\) も解にもつ
また、この2つの解 \(2+\sqrt{3}i~,~2-\sqrt{3}i\) の和と積は、
\(\begin{eqnarray}~~~(2+\sqrt{3}i)+(2-\sqrt{3}i)&=&(2+2)+(\sqrt{3}i-\sqrt{3}i)
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(2+\sqrt{3}i)(2-\sqrt{3}i)&=&2^2-(\sqrt{3}i)^2
\\[3pt]~~~&=&4-3i^2
\\[3pt]~~~&=&4-3 \cdot (-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&4+3
\\[3pt]~~~&=&7\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&4-3i^2
\\[3pt]~~~&=&4-3 \cdot (-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&4+3
\\[3pt]~~~&=&7\end{eqnarray}\)
これより、この2数を解にもつ2次方程式の1つは、
\(x^2-4x+7=0\)
\(x^2+ax+b=0\) と比較すると、
\(a=-4~,~b=7\)
他の解は \(2+\sqrt{3}i\)
【別解】
\(x=2-\sqrt{3}i\) を2次方程式 \(x^2+ax+b=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2-\sqrt{3}i)^2+a(2-\sqrt{3}i)+b&=&0
\\[3pt]~~~(4-4\sqrt{3}i+3i^2)+a(2-\sqrt{3}i)+b&=&0
\\[3pt]~~~4-4\sqrt{3}i-3+2a-\sqrt{3}ai+b&=&0
\\[3pt]~~~(2a+b+1)-(\sqrt{3}a+4\sqrt{3})i&=&0
\end{eqnarray}\)
実部と虚部がそれぞれ \(0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
2a+b+1=0~~~\hspace{6pt}\cdots{\small [\,1\,]} \\ \sqrt{3}a+4\sqrt{3}=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{3}a+4\sqrt{3}&=&0
\\[3pt]~~~\sqrt{3}a&=&-4\sqrt{3}
\\[3pt]~~~a&=&-4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot (-4)+b+1&=&0
\\[3pt]~~~-8+b+1&=&0
\\[3pt]~~~b-7&=&0
\\[3pt]~~~b&=&7\end{eqnarray}\)
よって、\(a=-4~,~b=7\) より、2次方程式は \(x^2-4x+7=0\) となるので、
\(x\) の係数が偶数で、
\(x^2+2 \cdot (-2)x+7=0\) とできるので、
\(x=\displaystyle\frac{\,-b^{\prime}\pm\sqrt{{b^{\prime}}^2-ac}\,}{\,a\,}\)
を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-1 \cdot 7}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&2 \pm \sqrt{4-7}
\\[3pt]~~~&=&2 \pm \sqrt{-3}
\\[3pt]~~~&=&2 \pm \sqrt{3}i\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a=-4~,~b=7\)
他の解は \(2+\sqrt{3}i\)
