このページは、「2次方程式の1つの虚数解」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ012次方程式 \(x^2+ax+b=0\) が \(1+2i\) を解にもつとき、実数の定数 \(a~,~b\) の値を求めよ。また、他の解を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.68 演習問題A 2
この2次方程式の解の1つが \(1+2i\) より、共役な複素数の \(1-2i\) も解にもつ
また、この2つの解 \(1+2i~,~1-2i\) の和と積は、
\(\begin{eqnarray}~~~(1+2i)+(1-2i)&=&(1+1)+(2i-2i)
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(1+2i)(1-2i)&=&1^2-(2i)^2
\\[3pt]~~~&=&1-4i^2
\\[3pt]~~~&=&1-4 \cdot (-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&1+4
\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&1-4i^2
\\[3pt]~~~&=&1-4 \cdot (-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&1+4
\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
これより、この2数を解にもつ2次方程式の1つは、
\(x^2-2x+5=0\)
\(x^2+ax+b=0\) と比較すると、
\(a=-2~,~b=5\)
他の解は \(1-2i\)
【別解】
\(x=1+2i\) を2次方程式 \(x^2+ax+b=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(1+2i)^2+a(1+2i)+b&=&0
\\[3pt]~~~(1+4i+4i^2)+a(1+2i)+b&=&0
\\[3pt]~1+4i-4+a+2ai+b&=&0
\\[3pt]~(a+b-3)+(2a+4)i&=&0
\end{eqnarray}\)
実部と虚部がそれぞれ \(0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a+b-3=0~~~\hspace{6pt}\cdots{\small [\,1\,]} \\ 2a+4=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2a+4&=&0
\\[3pt]~~~2a&=&-4
\\[3pt]~~~a&=&-2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(-2)+b-3&=&0
\\[3pt]~~~b-5&=&0
\\[3pt]~~~b&=&5\end{eqnarray}\)
よって、\(a=-2~,~b=5\) より、2次方程式は \(x^2-2x+5=0\) となるので、
\(x\) の係数が偶数で、
\(x^2+2 \cdot (-1)x+5=0\) とできるので、
\(x=\displaystyle\frac{\,-b^{\prime}\pm\sqrt{{b^{\prime}}^2-ac}\,}{\,a\,}\)
を用いると、
\(\begin{eqnarray}~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-1 \cdot 5}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~&=&1 \pm \sqrt{1-5}
\\[3pt]~&=&1 \pm \sqrt{-4}
\\[3pt]~~~&=&1 \pm 2i\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a=-2~,~b=5\)
他の解は \(1-2i\)
