このページは、「2次方程式の2つの解がともにkより大きい」の練習問題アーカイブページとなります。
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2次方程式の2つの解がともにkより大きい で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ012次方程式 \( x^2-2(m-1)x+m+5=0 \) が異なる2つの解をもち、その解がともに \( 1 \) より大きいとき、定数 \( m \) の値の範囲を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.65 章末問題B 6
\( x^2-2(m-1)x+m+5=0 \) の判別式を \( D \) とすると
\(\begin{eqnarray}~~~D&=&\{-2(m-1)\}^2-4 \cdot 1 \cdot (m+5)\\[3pt]~~~&=&4(m-1)^2-4(m+5)\\[3pt]~~~&=&4(m^2-2m+1)-4m-20\\[3pt]~~~&=&4m^2-8m+4-4m-20\\[3pt]~~~&=&4m^2-12m-16\\[3pt]~~~&=&4(m^2-3m-4)\\[3pt]~~~&=&4(m-4)(m+1)~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、解と係数の関係より、
\(\left\{~\begin{array}{l} \alpha+\beta=-\displaystyle \frac{\,-2(m-1)\,}{\,1\,}=2(m-1)~~~\cdots {\small [\,2\,]}\\ \alpha\beta=\displaystyle \frac{\,m+5\,}{\,1\,}=m+5~~~\hspace{35pt}\cdots {\small [\,3\,]} \end{array}\right.\)
ここで、2つの解 \( \alpha~,~\beta \) がともに \( 1 \) より大きいとき、
\( D \gt 0 \) かつ \( \alpha \gt 1 \) かつ \( \beta \gt 1 \)
\( \Leftrightarrow \) \( D \gt 0 \) かつ \( \alpha-1 \gt 0 \) かつ \( \beta-1 \gt 0 \)
これより、2つの解 \( \alpha-1~,~\beta-1 \) がともに正の数と考えられるので、その条件は、
\(\left\{~\begin{array}{l} D \gt 0 \\[3pt] (\alpha-1)+(\beta-1) \gt 0 \\[3pt] (\alpha-1)(\beta-1) \gt 0 \end{array}\right.\)
\( D \gt 0 \) と \({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4(m-4)(m+1)& \gt &0\\[3pt]~~~(m-4)(m+1)& \gt &0\end{eqnarray}\)
よって、\(m \lt -1~,~4 \lt m\)
また、\( (\alpha-1)+(\beta-1) \gt 0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+\beta-2& \gt &0\\[3pt]~~~2(m-1)-2& \gt &0\hspace{15pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)\\[3pt]~~~2m-2-2& \gt &0\\[3pt]~~~2m-4& \gt &0\\[3pt]~~~m& \gt &2\end{eqnarray}\)
また、\( (\alpha-1)(\beta-1) \gt 0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta-\alpha-\beta+1& \gt &0\\[3pt]~~~\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1& \gt &0\\[3pt]~~~(m+5)-2(m-1)+1& \gt &0\hspace{15pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\,)\\[3pt]~~~m+5-2m+2+1& \gt &0\\[3pt]~~~-m+8& \gt &0\\[3pt]~~~-m& \gt &-8\\[3pt]~~~m& \lt &8\end{eqnarray}\)
数直線上にまとめると、
共通範囲より、\( 4 \lt m \lt 8 \)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ022次方程式 \( x^2+mx+1=0 \) の2つの解を \( \alpha~,~\beta \) とするとき、\( \alpha~,~\beta \) がともに \( 3 \) より小さくなるような定数 \( m \) の値の範囲を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.35 問題 14(2)
\( x^2+mx+1=0 \) の判別式を \( D \) とすると
\(\begin{eqnarray}~~~D&=&m^2-4 \cdot 1 \cdot 1\\[3pt]~~~&=&m^2-4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、解と係数の関係より、
\(\left\{~\begin{array}{l} \alpha+\beta=-\displaystyle \frac{\,m\,}{\,1\,}=-m~~~\cdots {\small [\,2\,]}\\ \alpha\beta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}=1~~~\hspace{35pt}\cdots {\small [\,3\,]} \end{array}\right.\)
ここで、2つの解 \( \alpha~,~\beta \) がともに \( 3 \) より小さいとき、
\( D {\small ~≧~} 0 \) かつ \( \alpha \lt 3 \) かつ \( \beta \lt 3 \)
\( \Leftrightarrow \) \( D {\small ~≧~} 0 \) かつ \( \alpha-3 \lt 0 \) かつ \( \beta-3 \lt 0 \)
※ 「異なる2つの解」ではないので、重解の条件 \(D=0\) を含む。
これより、2つの解 \( \alpha-3~,~\beta-3 \) がともに負の数と考えられるので、その条件は、
\(\left\{~\begin{array}{l} D {\small ~≧~} 0 \\[3pt] (\alpha-3)+(\beta-3) \lt 0 \\[3pt] (\alpha-3)(\beta-3) \gt 0 \end{array}\right.\)
\( D {\small ~≧~} 0 \) と \({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~m^2-4& {\small ~≧~} &0\\[3pt]~~~(m+2)(m-2)& {\small ~≧~} &0\end{eqnarray}\)
よって、\(m {\small ~≦~} -2~,~2 {\small ~≦~} m\)
また、\( (\alpha-3)+(\beta-3) \lt 0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+\beta-6& \lt &0\\[3pt]~~~-m-6& \lt &0\hspace{15pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)\\[3pt]~~~-m& \lt &6\\[3pt]~~~m& \gt &-6\end{eqnarray}\)
また、\( (\alpha-3)(\beta-3) \gt 0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta-3\alpha-3\beta+9& \gt &0\\[3pt]~~~\alpha\beta-3(\alpha+\beta)+9& \gt &0\\[3pt]~~~1-3(-m)+9& \gt &0\hspace{15pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\,)\\[3pt]~~~1+3m+9& \gt &0\\[3pt]~~~3m+10& \gt &0\\[3pt]~~~m& \gt &-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
数直線上にまとめると、
共通範囲より、\(-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,} \lt m {\small ~≦~} -2~,~2 {\small ~≦~} m \)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ032次方程式 \( x^2+4kx+5k-1=0 \) の異なる2つの解がともに \( -2 \) より大きくなるような定数 \( k \) の値の範囲を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.61 練習問題B 8
\( x^2+4kx+5k-1=0 \) の判別式を \( D \) とすると
\(\begin{eqnarray}~~~D&=&(4k)^2-4 \cdot 1 \cdot (5k-1)\\[3pt]~~~&=&16k^2-20k+4\\[3pt]~~~&=&4(4k^2-5k+1)\\[3pt]~~~&=&4(4k-1)(k-1)~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、解と係数の関係より、
\(\left\{~\begin{array}{l} \alpha+\beta=-\displaystyle \frac{\,4k\,}{\,1\,}=-4k~~~\cdots {\small [\,2\,]}\\ \alpha\beta=\displaystyle \frac{\,5k-1\,}{\,1\,}=5k-1~~~\cdots {\small [\,3\,]} \end{array}\right.\)
ここで、2つの解 \( \alpha~,~\beta \) がともに \( -2 \) より大きいとき、
\( D \gt 0 \) かつ \( \alpha \gt -2 \) かつ \( \beta \gt -2 \)
\( \Leftrightarrow \) \( D \gt 0 \) かつ \( \alpha+2 \gt 0 \) かつ \( \beta+2 \gt 0 \)
これより、2つの解 \( \alpha+2~,~\beta+2 \) がともに正の数と考えられるので、その条件は、
\(\left\{~\begin{array}{l} D \gt 0 \\[3pt] (\alpha+2)+(\beta+2) \gt 0 \\[3pt] (\alpha+2)(\beta+2) \gt 0 \end{array}\right.\)
\( D \gt 0 \) と \({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4(4k-1)(k-1)& \gt &0\\[3pt]~~~(4k-1)(k-1)& \gt &0\end{eqnarray}\)
よって、\(k \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}~,~1 \lt k\)
また、\( (\alpha+2)+(\beta+2) \gt 0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+\beta+4& \gt &0\\[3pt]~~~-4k+4& \gt &0\hspace{15pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)\\[3pt]~~~-4k& \gt &-4\\[3pt]~~~k& \lt &1\end{eqnarray}\)
また、\( (\alpha+2)(\beta+2) \gt 0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha\beta+2\alpha+2\beta+4& \gt &0\\[3pt]~~~\alpha\beta+2(\alpha+\beta)+4& \gt &0\\[3pt]~~~(5k-1)+2(-4k)+4& \gt &0\hspace{15pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\,)\\[3pt]~~~5k-1-8k+4& \gt &0\\[3pt]~~~-3k+3& \gt &0\\[3pt]~~~-3k& \gt &-3\\[3pt]~~~k& \lt &1\end{eqnarray}\)
数直線上にまとめると、
共通範囲より、\( k \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \)
