- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「3次方程式の解と係数の関係」の基本例題解説ページです。
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問題｜3次方程式の解と係数の関係
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
3次方程式の解と係数の関係
3次方程式 \( ax^3+bx^2+cx+d=0 \) の3つの解 \( \alpha~,~\beta~,~\gamma \) について、
解と係数の関係は、
\(\left\{~\begin{array}{l}\alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\\[5pt]\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,a\,}\\[5pt]\alpha\beta\gamma=-\displaystyle \frac{\,d\,}{\,a\,}\end{array}\right.\)
※ \( a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0 \) と展開することで得られる。
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詳しい解説｜3次方程式の解と係数の関係
3次方程式 \( x^3-3x^2+7x-5=0 \) の3つの解を \( \alpha~,~\beta~,~\gamma \) とするとき、式 \( \alpha^2+\beta^2+\gamma^2~,~\)\( \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\alpha\,}+\frac{\,1\,}{\,\beta\,}+\frac{\,1\,}{\,\gamma\,}~,~\)\( (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1) \) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
3次方程式 \( x^3-3x^2+7x-5=0 \) の解と係数の関係より、
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}\alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle \frac{\,-3\,}{\,1\,}=3~~~\hspace{3pt}\cdots{\small [\,1\,]}\\[5pt]\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,1\,}=7~~~\cdots{\small [\,2\,]}\\[5pt]\alpha\beta\gamma=-\displaystyle \frac{\,-5\,}{\,1\,}=5~~~\hspace{26pt}\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\alpha^2+\beta^2+\gamma^2
\\[3pt]~~~&=&(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)
\\[3pt]~~~&=&3^2-2\cdot 7\hspace{15pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&9-14
\\[3pt]~~~&=&-5\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\frac{\,1\,}{\,\alpha\,}+\frac{\,1\,}{\,\beta\,}+\frac{\,1\,}{\,\gamma\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha\beta\,}{\,\alpha\beta\gamma\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\,}{\,\alpha\beta\gamma\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,5\,}\hspace{15pt}(\,∵~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\,)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(\alpha\beta+\alpha+\beta+1)(\gamma+1)
\\[3pt]~~~&=&\alpha\beta\gamma+\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha+\beta\gamma+\beta+\gamma+1
\\[3pt]~~~&=&\alpha\beta\gamma+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+(\alpha+\beta+\gamma)+1
\\[3pt]~~~&=&5+7+3+1\hspace{15pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&16\end{eqnarray}\)
