- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「剰余の定理と余りの値」の基本例題解説ページです。
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問題｜剰余の定理と余りの値
複素数と方程式 27多項式 \( P(x)=x^3-3x^2+5x+1 \) を \( x-1 \) で割ったときの余りの求め方は？また、\( 2x-1 \) で割ったときは？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
剰余の定理と余りの値
Point：剰余の定理と余りの値
※ 1次式 \( x-k \) で割っているので、余りは定数となる。
\( P(x)=(x-k)Q(x)+R \)
これより、\( x=k \) と代入することで、
余り \( R=P(k) \) となる。
\( ax+b=0~\Leftrightarrow~x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,} \) より、
余り \( R=P\left(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right) \) となる。
\( P(x) \) を \( x-k \) で割ったときの商を \( Q(x) \)、余りを \( R \) とすると、
※ 1次式 \( x-k \) で割っているので、余りは定数となる。
\( P(x)=(x-k)Q(x)+R \)
これより、\( x=k \) と代入することで、
余り \( R=P(k) \) となる。
また、\( ax+b \) で割ったときの余りは、
\( ax+b=0~\Leftrightarrow~x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,} \) より、
余り \( R=P\left(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right) \) となる。
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詳しい解説｜剰余の定理と余りの値
複素数と方程式 27
多項式 \( P(x)=x^3-3x^2+5x+1 \) を \( x-1 \) で割ったときの余りの求め方は？また、\( 2x-1 \) で割ったときは？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
\( P(x) \) を \( x-1 \) で割った余りは \( P(1) \) より、
（ ※ \(x-1=0~\Leftrightarrow ~ x=1\) ）
\(\begin{eqnarray}~~~P(1)&=&1^3-3\cdot 1^2+5\cdot 1+1
\\[3pt]~~~&=&1-3+5+1
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、余り \( 4 \)
\( P(x) \) を \( 2x-1 \) で割った余りは \( P\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right) \) より、
（ ※ \(2x-1=0~\Leftrightarrow~x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) ）
\(\begin{eqnarray}~~~P\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^3-3\cdot\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+5\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,6\,}{\,8\,}+\displaystyle \frac{\,20\,}{\,8\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-6+20+8\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,23\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,6\,}{\,8\,}+\displaystyle \frac{\,20\,}{\,8\,}+\displaystyle \frac{\,8\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-6+20+8\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,23\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
したがって、余り \( \displaystyle \frac{\,23\,}{\,8\,} \)
