- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「剰余の定理と余りの式」の基本例題解説ページです。
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問題｜剰余の定理と余りの式
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
剰余の定理と余りの式
剰余の定理を用いた余りの式の求め方は、
① 剰余の定理より、余りの条件式を立てる。
\( x+1 \) で割ると余り \( 1 \) → \( P(-1)=1 \)
\( x-2 \) で割ると余り \( 7 \) → \( P(2)=7 \)
② 求めたい余りの式を、商を \( Q(x) \) として表す。
\( P(x)=(x+1)(x-2)Q(x)+ax+b \)
※ 2次式 \( (x+1)(x-2) \) で割っているので、余りは1次式以下の \( ax+b \) で表せる。
③ 余りの条件式から連立方程式をつくり、\(a~,~b\) の値を求める。
\( x=-1 \) のとき、\( -a+b=1 \)
\( x=2 \) のとき、\( 2a+b=7 \)
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詳しい解説｜剰余の定理と余りの式
多項式 \( P(x) \) を \( x+1 \) で割ると余りが \( 1 \)、\( P(x) \) を \( x-2 \) で割ると余りが \( 7 \) であるとき、\( P(x) \) を \( (x+1)(x-2) \) で割ったときの余りの求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
\( P(x) \) を \( x+1 \) で割ると余りが \( 1 \) より、
\(P(x)=(x+1)Q_1(x)+1\) となり、\(x=-1\) を代入する。
\( P(-1)=1 ~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\( P(x) \) を \( x-2 \) で割ると余りが \( 7 \) より、
\(P(x)=(x-2)Q_2(x)+7\) となり、\(x=2\) を代入する。
\( P(2)=7 ~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\( P(x) \) を \( (x+1)(x-2) \) で割った商を \( Q(x) \)、余りを \( ax+b \) とすると、
※ 2次式 \( (x+1)(x-2) \) で割っているので、余りは1次式以下 \( ax+b \) となる。
\({\small [\,1\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=-1 \) を代入すると、
\\[3pt]~~~0\cdot (-3)\cdot Q(-1)-a+b&=&1
\\[3pt]~~~-a+b&=&1~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=2 \) を代入すると、
\\[3pt]~~~3\cdot 0\cdot Q(2)+2a+b&=&7
\\[3pt]~~~2a+b&=&7~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\)－\({\small [\,5\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
-a+b&=&1\\~~
-\big{)}~~2a+b&=&7\\
\hline -3a&=&-6
\\[3pt] a&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-2+b&=&1
\\[3pt]~~~b&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、余りは \( 2x+3 \) となる
【別解】
\( P(x) \) を \( x+1 \) で割ると余りが \( 1 \) より、
\( P(x) \) を \( (x+1)(x-2) \) で割ったときの余り（1次式）を \( x+1 \) で割ると、商が \( a \)（定数）、余りが \( 1 \) となる
これより、\( P(x) \) を \( (x+1)(x-2) \) で割ったときの商を \( Q(x) \) とすると、
これより、\(x+1\) で割ると余りが \(1\) に適する。
また、\( P(x) \) を \( x-2 \) で割ると余りが \( 7 \) より、
\(P(x)=(x-2)Q_2(x)+7\) となり、\(x=2\) を代入する。
\( P(2)=7 ~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\\[3pt]~~~3\cdot 0\cdot Q(2)+3a+1&=&7
\\[3pt]~~~3a&=&6
\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)
よって、余りの式は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2(x+1)+1
\\[3pt]~~~&=&2x+2+1
\\[3pt]~~~&=&2x+3\end{eqnarray}\)
