このページは、「剰余の定理と余りの式」の練習問題アーカイブページとなります。
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剰余の定理と余りの式 で確認できます。
問題アーカイブ01
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.57 練習23
\( P(x) \) を \( x-3 \) で割ると余りが \( -11 \) より、
\(P(x)=(x-3)Q_1(x)-11\) となり、\(x=3\) を代入する。
\( P(3)=-11 ~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\( P(x) \) を \( x+2 \) で割ると余りが \( 4 \) より、
\(P(x)=(x+2)Q_2(x)+4\) となり、\(x=-2\) を代入する。
\( P(-2)=4 ~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\( P(x) \) を \( (x-3)(x+2) \) で割った商を \( Q(x) \)、余りを \( ax+b \) とすると、
※ 2次式 \( (x-3)(x+2)=x^2-x-6 \) で割っているので、余りは1次式以下 \( ax+b \) となる。
\({\small [\,1\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=3 \) を代入すると、
\\[3pt]~0\cdot 5\cdot Q(3)+3a+b&=&-11
\\[3pt]~3a+b&=&-11~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=-2 \) を代入すると、
\\[3pt]~(-5)\cdot 0\cdot Q(-2)-2a+b&=&4
\\[3pt]~-2a+b&=&4~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\)－\({\small [\,5\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~
3a+b&=&-11\\~~
-\big{)}~~-2a+b&=&4\\
\hline 5a&=&-15
\\[3pt] a&=&-3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3 \cdot (-3)+b&=&-11
\\[3pt]~-9+b&=&-11
\\[3pt]~~~b&=&-2\end{eqnarray}\)
したがって、余りは \( -3x-2 \) となる
問題アーカイブ02
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.57 練習24
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.56 練習21
\( P(x) \) を \( x-3 \) で割ると余りが \( 1 \) より、
\(P(x)=(x-3)Q_1(x)+1\) となり、\(x=3\) を代入する。
\( P(3)=1 ~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\( P(x) \) を \( x+1 \) で割ると余りが \( 5 \) より、
\(P(x)=(x+1)Q_2(x)+5\) となり、\(x=-1\) を代入する。
\( P(-1)=5 ~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\( P(x) \) を \( (x-3)(x+1) \) で割った商を \( Q(x) \)、余りを \( ax+b \) とすると、
※ 2次式 \( (x-3)(x+1) \) で割っているので、余りは1次式以下 \( ax+b \) となる。
\({\small [\,1\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=3 \) を代入すると、
\\[3pt]~0\cdot 4\cdot Q(3)+3a+b&=&1
\\[3pt]~3a+b&=&1~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=-1 \) を代入すると、
\\[3pt]~(-4)\cdot 0\cdot Q(-1)-a+b&=&5
\\[3pt]~-a+b&=&5~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\)－\({\small [\,5\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~
3a+b&=&1\\~~
-\big{)}~~-a+b&=&5\\
\hline 4a&=&-4
\\[3pt] a&=&-1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3 \cdot (-1)+b&=&1
\\[3pt]~-3+b&=&1
\\[3pt]~~~b&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、余りは \( -x+4 \) となる
問題アーカイブ03
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.38 問5
\( P(x) \) を \( x-4 \) で割ると余りが \( 1 \) より、
\(P(x)=(x-4)Q_1(x)+1\) となり、\(x=4\) を代入する。
\( P(4)=1 ~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\( P(x) \) を \( x+3 \) で割ると余りが \( 8 \) より、
\(P(x)=(x+3)Q_2(x)+8\) となり、\(x=-3\) を代入する。
\( P(-3)=8 ~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\( P(x) \) を \( x^2-x-12=(x-4)(x+3) \) で割った商を \( Q(x) \)、余りを \( ax+b \) とすると、
※ 2次式 \( (x-4)(x+3)=x^2-x-12 \) で割っているので、余りは1次式以下 \( ax+b \) となる。
\({\small [\,1\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=4 \) を代入すると、
\\[3pt]~0\cdot 7\cdot Q(4)+4a+b&=&1
\\[3pt]~4a+b&=&1~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=-3 \) を代入すると、
\\[3pt]~(-7)\cdot 0\cdot Q(-3)-3a+b&=&8
\\[3pt]~-3a+b&=&8~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\)－\({\small [\,5\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~
4a+b&=&1\\~~
-\big{)}~~-3a+b&=&8\\
\hline 7a&=&-7
\\[3pt] a&=&-1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4 \cdot (-1)+b&=&1
\\[3pt]~-4+b&=&1
\\[3pt]~~~b&=&5\end{eqnarray}\)
したがって、余りは \( -x+5 \) となる
問題アーカイブ04
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.42 問4
\( P(x) \) を \( x-4 \) で割ると余りが \( 2 \) より、
\(P(x)=(x-4)Q_1(x)+2\) となり、\(x=4\) を代入する。
\( P(4)=2 ~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\( P(x) \) を \( x+2 \) で割ると余りが \( 14 \) より、
\(P(x)=(x+2)Q_2(x)+14\) となり、\(x=-2\) を代入する。
\( P(-2)=14 ~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\( P(x) \) を \( (x-4)(x+2) \) で割った商を \( Q(x) \)、余りを \( ax+b \) とすると、
※ 2次式 \( (x-4)(x+2)=x^2-2x-8 \) で割っているので、余りは1次式以下 \( ax+b \) となる。
\({\small [\,1\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=4 \) を代入すると、
\\[3pt]~0\cdot 6\cdot Q(4)+4a+b&=&2
\\[3pt]~4a+b&=&2~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=-2 \) を代入すると、
\\[3pt]~(-6)\cdot 0\cdot Q(-2)-2a+b&=&14
\\[3pt]~-2a+b&=&14~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\)－\({\small [\,5\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~
4a+b&=&2\\~~
-\big{)}~~-2a+b&=&14\\
\hline 6a&=&-12
\\[3pt] a&=&-2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4 \cdot (-2)+b&=&2
\\[3pt]~-8+b&=&2
\\[3pt]~~~b&=&10\end{eqnarray}\)
したがって、余りは \( -2x+10 \) となる
問題アーカイブ05
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.48 Training 25
\( P(x) \) を \( x+1 \) で割り切れるより、
\(P(x)=(x+1)Q_1(x)\) となり、\(x=-1\) を代入する。
\( P(-1)=0 ~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\( P(x) \) を \( x-2 \) で割ると余りが \( 6 \) より、
\(P(x)=(x-2)Q_2(x)+6\) となり、\(x=2\) を代入する。
\( P(2)=6 ~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\( P(x) \) を \( (x+1)(x-2) \) で割った商を \( Q(x) \)、余りを \( ax+b \) とすると、
※ 2次式 \( (x+1)(x-2) \) で割っているので、余りは1次式以下 \( ax+b \) となる。
\({\small [\,1\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=-1 \) を代入すると、
\\[3pt]~0\cdot (-3)\cdot Q(-1)-a+b&=&0
\\[3pt]~-a+b&=&0~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=2 \) を代入すると、
\\[3pt]~3\cdot 0\cdot Q(2)+2a+b&=&6
\\[3pt]~2a+b&=&6~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,5\,]}\)－\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~
2a+b&=&6\\~~
-\big{)}~~-a+b&=&0\\
\hline 3a&=&6
\\[3pt] a&=&2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-2+b&=&0
\\[3pt]~~~b&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、余りは \( 2x+2 \) となる
問題アーカイブ06
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.64 Level Up 7
\( P(x) \) を \( (x-1)(x-2) \) で割ると余りが \( 3x-5 \) より、
\( x=2 \) のとき、余りは \( 3 \cdot 2-5=1 \) となり、
\( P(2)=1 ~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\( P(x) \) を \( (x-1)(x+2) \) で割ると余りが \( -5x+3 \) より、
\( x=-2 \) のとき、余りは \( -5 \cdot (-2)+3=13 \) となり、
\( P(-2)=13 ~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\( P(x) \) を \( (x-2)(x+2) \) で割った商を \( Q(x) \)、余りを \( ax+b \) とすると、
※ 2次式 \( (x-2)(x+2) \) で割っているので、余りは1次式以下 \( ax+b \) となる。
\({\small [\,1\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=2 \) を代入すると、
\\[3pt]~0\cdot 4\cdot Q(2)+2a+b&=&1
\\[3pt]~2a+b&=&1~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=-2 \) を代入すると、
\\[3pt]~(-4)\cdot 0\cdot Q(-2)-2a+b&=&13
\\[3pt]~-2a+b&=&13~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\)－\({\small [\,5\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~
2a+b&=&1\\~~
-\big{)}~~-2a+b&=&13\\
\hline 4a&=&-12
\\[3pt] a&=&-3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot (-3)+b&=&1
\\[3pt]~-6+b&=&1
\\[3pt]~~~b&=&7\end{eqnarray}\)
したがって、余りは \( -3x+7 \) となる
