- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「因数定理を用いた3次式の因数分解」の基本例題解説ページです。
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問題｜因数定理を用いた3次式の因数分解
複素数と方程式 30因数定理を用いた3次式 \(x^3-7x-6~,~\)\(2x^3+5x^2-4x-3\) の因数分解の方法は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
因数定理を用いた3次式の因数分解
Point：因数定理を用いた3次式の因数分解
① \(P(x)=2x^3+5x^2-4x-3\) とおいて、\(P(x)=0\) となる \(x\) の値 \(k\) を調べ、\(P(x)\) の因数 \(x-k\) を求める。
\(P(1)=0\) より、因数は \(x-1\)。
② \(P(x)\) を因数で割って、商を求める。
\(P(x)=(x-1)(2x^2+7x+3)\)
③ 商をさらに因数分解する。
\(P(x)=(x-1)(2x+1)(x+3)\)
3次式 \(2x^3+5x^2-4x-3\) の因数分解は、
① \(P(x)=2x^3+5x^2-4x-3\) とおいて、\(P(x)=0\) となる \(x\) の値 \(k\) を調べ、\(P(x)\) の因数 \(x-k\) を求める。
\(P(1)=0\) より、因数は \(x-1\)。
② \(P(x)\) を因数で割って、商を求める。
\(P(x)=(x-1)(2x^2+7x+3)\)
③ 商をさらに因数分解する。
\(P(x)=(x-1)(2x+1)(x+3)\)
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詳しい解説｜因数定理を用いた3次式の因数分解
複素数と方程式 30
因数定理を用いた3次式 \(x^3-7x-6~,~\)\(2x^3+5x^2-4x-3\) の因数分解の方法は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
\(P(x)=x^3-7x-6\) とおくと、
定数項が \(-6\) より、その約数 \(\pm 1~,~\pm 2~,~\pm 3~,~\pm 6\) で \(P(x)=0\) となる可能性がある。
\(\begin{eqnarray}~~~P(1)&=&1^3-7\cdot 1-6\\[3pt]~~~&=&1-7-6\\[3pt]~~~&=&-12~\neq~0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(-1)&=&(-1)^3-7\cdot (-1)-6\\[3pt]~~~&=&-1+7-6\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(P(x)\) は \(x+1\) を因数にもつ
\(P(x)\) を \(x+1\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x^2-x-6\hspace{28pt}\\x+1~)~\overline{x^3\phantom{+0x^2}-7x-6}\\\underline{-~)~x^3+x^2~~\phantom{-7x-6}}\\-x^2-7x-6\\\underline{-~)~-x^2-x~~~\phantom{-6}}\\-6x-6\\\underline{-~)~-6x-6}\\0\end{array}\)
商が \(x^2-x-6\) となるので、\(P(x)\) を因数分解すると、
\(P(x)=(x+1)(x^2-x-6)\)
さらに、かっこの中を因数分解すると、
\(=(x+1)(x+2)(x-3)\)
\(P(x)=2x^3+5x^2-4x-3\) とおくと、
定数項が \(-3\) より、その約数 \(\pm 1~,~\pm 3\) で \(P(x)=0\) となる可能性がある。
\(\begin{eqnarray}~~~P(1)&=&2\cdot 1^3+5\cdot 1^2-4\cdot 1-3\\[3pt]~~~&=&2+5-4-3\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(P(x)\) は \(x-1\) を因数にもつ
\(P(x)\) を \(x-1\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}2x^2+7x+3\hspace{24pt}\\x-1~)~\overline{2x^3+5x^2-4x-3}\\\underline{-~)~2x^3-2x^2~~\phantom{-4x-3}}\\7x^2-4x-3\\\underline{-~)~7x^2-7x~\phantom{-3}}\\3x-3\\\underline{-~)~3x-3}\\0\end{array}\)
商が \(2x^2+7x+3\) となるので、\(P(x)\) を因数分解すると、
\(P(x)=(x-1)(2x^2+7x+3)\)
さらに、かっこの中を因数分解すると、
\(\hspace{20pt}\)\(\begin{array}{c c c|c}~2&&1&1\\[-1pt]&{\times} & & \\[-1pt]~1&&3&6\\[2pt]\hline&&&7\end{array}\)
たすき掛けの因数分解より、
\(=(x-1)(2x+1)(x+3)\)
