- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「剰余の定理と2次式で割った余りの条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜剰余の定理と2次式で割った余りの条件
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
剰余の定理と2次式で割った余りの条件
2次式で割った1次式の余りが条件であるとき、
① 求める余りの式の割る式を因数分解し、剰余の定理の条件式を調べる。
\( x^2+x-2=(x+2)(x-1) \) で割った
余り式を求める。
→ 剰余の定理より、
\( P(-2) \) と \( P(1) \) が条件式。
② 2次式で割ったときの1次式の余りの条件から、剰余の定理の条件式を立てる。
\( P(x) \) を \( (x+3)(x-1) \) で割った
余りの式 \( 2x-1 \) → \(P(1)=1 \)
\( P(x) \) を \( (x+2)(x-2) \) で割った
余りの式 \( 6x+4 \) → \( P(-2)=-8 \)
③ 求める余りを \( ax+b \)、商を \( Q_3(x) \) とし、②の条件式より連立方程式を立てる。
\( P(x)=(x+2)(x-1)Q_3(x)+ax+b \)
\( P(1)=1 \) より、\( a+b=1 \)
\( P(-2)=-8 \) より、\( -2a+b=-8 \)
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詳しい解説｜剰余の定理と2次式で割った余りの条件
多項式 \( P(x) \) を \( x^2+2x-3 \) で割ると余りが \( 2x-1 \)、\( P(x) \) を \( x^2-4 \) で割ると余りが \( 6x+4 \) であるとき、\( P(x) \) を \( x^2+x-2 \) で割ったときの余りの求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
\( P(x) \) を \( x^2+x-2=(x+2)(x-1) \) で割ったときの余りを求めたいので、条件から剰余の定理より、\( P(-2) \) と \( P(1) \) を求める。
\( P(x) \) を \( x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \) で割ったときの余りが \( 2x-1 \) より、商を \( Q_1(x) \) とすると、
\( P(x)=(x+3)(x-1)Q_1(x)+2x-1 \)
\( x=1 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~P(1)&=&(1+3)(1-1)\cdot Q_1(1)+2\cdot 1-1
\\[3pt]~~~&=&2-1
\\[3pt]~~~&=&1~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\( P(x) \) を \( x^2-4=(x+2)(x-2) \) で割ったときの余りが \( 6x+4 \) より、商を \( Q_2(x) \) とすると、
\( P(x)=(x+2)(x-2)\cdot Q_2(x)+6x+4 \)
\( x=-2 \) のとき、
\\[3pt]~~~&=&-12+4
\\[3pt]~~~&=&-8~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\( P(x) \) を \( x^2+x-2=(x+2)(x-1) \) で割って、商を \( Q_3(x) \)、余りを \( ax+b \) とすると、
※ 2次式 \( (x+2)(x-1) \) で割っているので、余りは1次式以下 \( ax+b \) となる。
\({\small [\,1\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=1 \) を代入すると、
\\[3pt]~~~3\cdot 0\cdot Q_3(1)+a+b&=&1
\\[3pt]~~~a+b&=&1~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=-2 \) を代入すると、
\\[3pt]~~~0\cdot(-3)\cdot Q_3(-2)-2a+b&=&-8
\\[3pt]~~~2a-b&=&8~~~\cdots{\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}+{\small [\,5\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&1 \\~~
+\big{)}~~2a-b&=&8\\
\hline 3a&=&9
\\[3pt] a&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3+b&=&1
\\[3pt]~~~b&=&-2\end{eqnarray}\)
したがって、余りは \( 3x-2 \) となる
