このページは、「剰余の定理と2次式で割った余りの条件」の練習問題アーカイブページとなります。
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剰余の定理と2次式で割った余りの条件 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01多項式 \( P(x) \) を \( x^2-x-2 \) で割ると余りが \( x-1 \)、\( x^2-2x-3 \) で割ると余りが \( 3x+1 \) である。\( P(x) \) を \( x^2-5x+6 \) で割ったときの余りを求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.68 演習問題A 6
\( P(x) \) を \( x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \) で割ったときの余りを求めたいので、条件から剰余の定理より、\( P(2) \) と \( P(3) \) を求める。
\( P(x) \) を \( x^2-x-2=(x+1)(x-2) \) で割ると余りが \( x-1 \) より、
\(P(x)=(x+1)(x-2)Q_1(x)+x-1\)
\( x=2 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~P(2)&=&(2+1)(2-2)Q_1(2)+2-1
\\[3pt]~~~&=&1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\( P(x) \) を \( x^2-2x-3=(x+1)(x-3) \) で割ると余りが \( 3x+1 \) より、
\(P(x)=(x+1)(x-3)Q_2(x)+3x+1\)
\( x=3 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~P(3)&=&(3+1)(3-3)Q_2(3)+3\cdot 3+1
\\[3pt]~~~&=&9+1
\\[3pt]~~~&=&10~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\( P(x) \) を \( x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \) で割った商を \( Q(x) \)、余りを \( ax+b \) とすると、
※ 2次式 \( (x-2)(x-3) \) で割っているので、余りは1次式以下 \( ax+b \) となる。
\( P(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b ~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=2 \) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~P(2)=(2-2)(2-3) \cdot Q(2)+a \cdot 2+b&=&1
\\[3pt]~0\cdot (-1)\cdot Q(2)+2a+b&=&1
\\[3pt]~2a+b&=&1~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~0\cdot (-1)\cdot Q(2)+2a+b&=&1
\\[3pt]~2a+b&=&1~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=3 \) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~P(3)=(3-2)(3-3) \cdot Q(3)+a \cdot 3+b&=&10
\\[3pt]~1\cdot 0\cdot Q(3)+3a+b&=&10
\\[3pt]~3a+b&=&10~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~1\cdot 0\cdot Q(3)+3a+b&=&10
\\[3pt]~3a+b&=&10~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,5\,]}\)－\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~
3a+b&=&10\\~~
-\big{)}~~2a+b&=&1\\
\hline a&=&9\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot 9+b&=&1
\\[3pt]~18+b&=&1
\\[3pt]~~~b&=&-17\end{eqnarray}\)
したがって、余りは \( 9x-17 \) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02多項式 \( P(x) \) を \( (x+1)(x-2) \) で割ったときの余りは \( 5x+7 \) である。このとき、\( P(x) \) を \( x+1 \) で割ったときの余りを求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.44 問題 18
\( P(x) \) を \( (x+1)(x-2) \) で割ったときの余りが \( 5x+7 \) より、商を \( Q(x) \) とすると、
\( P(x)=(x+1)(x-2)Q(x)+5x+7 \)
\( x=-1 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~P(-1)&=&(-1+1)(-1-2)\cdot Q(-1)+5\cdot(-1)+7\\[3pt]~~~&=&-5+7\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、\( P(x) \) を \( x+1 \) で割ったときの余りは \( 2 \) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03多項式 \( P(x) \) を \( (x-1)(x-2) \) で割ると \( 3x-5 \) 余り、\( (x-1)(x+2) \) で割ると \( -5x+3 \) 余る。このとき、\( P(x) \) を \( (x-2)(x+2) \) で割ったときの余りを求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.61 練習問題B 11
\( P(x) \) を \( (x-2)(x+2) \) で割ったときの余りを求めたいので、条件から剰余の定理より、\( P(2) \) と \( P(-2) \) を求める。
\( P(x) \) を \( (x-1)(x-2) \) で割ると余りが \( 3x-5 \) より、
\(P(x)=(x-1)(x-2)Q_1(x)+3x-5\)
\( x=2 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~P(2)&=&(2-1)(2-2)Q_1(2)+3\cdot2-5
\\[3pt]~~~&=&6-5
\\[3pt]~~~&=&1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\( P(x) \) を \( (x-1)(x+2) \) で割ると余りが \( -5x+3 \) より、
\(P(x)=(x-1)(x+2)Q_2(x)-5x+3\)
\( x=-2 \) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~P(-2)&=&(-2-1)(-2+2)Q_2(-2)-5\cdot(-2)+3
\\[3pt]~~~&=&10+3
\\[3pt]~~~&=&13~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&10+3
\\[3pt]~~~&=&13~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\( P(x) \) を \( (x-2)(x+2) \) で割った商を \( Q(x) \)、余りを \( ax+b \) とすると、
※ 2次式 \( (x-2)(x+2) \) で割っているので、余りは1次式以下 \( ax+b \) となる。
\( P(x)=(x-2)(x+2)Q(x)+ax+b ~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=2 \) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~P(2)=(2-2)(2+2) \cdot Q(2)+a \cdot 2+b&=&1
\\[3pt]~0\cdot 4\cdot Q(2)+2a+b&=&1
\\[3pt]~2a+b&=&1~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~0\cdot 4\cdot Q(2)+2a+b&=&1
\\[3pt]~2a+b&=&1~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=-2 \) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~P(-2)=(-2-2)(-2+2) \cdot Q(-2)+a \cdot (-2)+b&=&13
\\[3pt]~(-4)\cdot 0\cdot Q(-2)-2a+b&=&13
\\[3pt]~-2a+b&=&13~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~(-4)\cdot 0\cdot Q(-2)-2a+b&=&13
\\[3pt]~-2a+b&=&13~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\)－\({\small [\,5\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~
2a+b&=&1\\~~
-\big{)}~~-2a+b&=&13\\
\hline 4a&=&-12
\\[3pt] a&=&-3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2 \cdot (-3)+b&=&1
\\[3pt]~-6+b&=&1
\\[3pt]~~~b&=&7\end{eqnarray}\)
したがって、余りは \( -3x+7 \) となる
