- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「x=a+biを用いた式の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜x=a+biを用いた式の値
複素数と方程式 33☆\( x=1+\sqrt{3}\,i \) のとき、\( x^2-2x+4=0 \) であることを示し、式 \( x^3-5x^2+12x-13 \) の値を求めよ。
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
x=a+biを用いた式の値
Point：x=a+biを用いた式の値
① \( x-1=\sqrt{3}\,i \) と変形し両辺を2乗する。
※ 虚数単位 \(i\) を含まない式にする。
\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2&=&(\sqrt{3}\,i)^2
\\[3pt]~~~\Leftrightarrow~~~x^2-2x+4&=&0\end{eqnarray}\)
② \( P(x) \) を \( x^2-2x+4 \) で割り、商と余りを求め、\( P(x) \) を割る式、商と余りで表す。
\( P(x)=(x^2-2x+4)(x-3)+2x-1 \)
\(\begin{eqnarray}~~~P(1+\sqrt{3}\,i)&=&2\cdot(1+\sqrt{3}\,i)-1
\\[3pt]~~~&=&1+2\sqrt{3}\,i\end{eqnarray}\)
\( x=1+\sqrt{3}\,i \) のとき、\( x^2-2x+4=0 \) の証明方法は、
① \( x-1=\sqrt{3}\,i \) と変形し両辺を2乗する。
※ 虚数単位 \(i\) を含まない式にする。
\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2&=&(\sqrt{3}\,i)^2
\\[3pt]~~~\Leftrightarrow~~~x^2-2x+4&=&0\end{eqnarray}\)
次に、\( P(x)=x^3-5x^2+12x-13 \) の値は、
② \( P(x) \) を \( x^2-2x+4 \) で割り、商と余りを求め、\( P(x) \) を割る式、商と余りで表す。
\( P(x)=(x^2-2x+4)(x-3)+2x-1 \)
③ \( x=1+\sqrt{3}\,i \) のとき、\( x^2-2x+4=0 \) となるので、余りの \( 2x-1 \) だけに代入すればよい。
\(\begin{eqnarray}~~~P(1+\sqrt{3}\,i)&=&2\cdot(1+\sqrt{3}\,i)-1
\\[3pt]~~~&=&1+2\sqrt{3}\,i\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜x=a+biを用いた式の値
複素数と方程式 33☆
\( x=1+\sqrt{3}\,i \) のとき、\( x^2-2x+4=0 \) であることを示し、式 \( x^3-5x^2+12x-13 \) の値を求めよ。
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
[証明] \( x=1+\sqrt{3}\,i \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&1+\sqrt{3}\,i
\\[3pt]~~~\hspace{40pt}x-1&=&\sqrt{3}\,i\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2&=&(\sqrt{3}\,i)^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&3i^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&3\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1+3&=&0
\\[3pt]~~~x^2-2x+4&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&3i^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&3\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1+3&=&0
\\[3pt]~~~x^2-2x+4&=&0\end{eqnarray}\)
[終]
\( P(x)=x^3-5x^2+12x-13 \) を \( x^2-2x+4 \) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x-3\hspace{62pt}\\x^2-2x+4~)~\overline{x^3-5x^2+12x-13}\\\underline{-~)~x^3-2x^2+4x~~~\,\phantom{-13}}\\-3x^2+8x-13\\\underline{-~)~-3x^2+6x-12}\\2x-1\end{array}\)
商が \( x-3 \)、余りが \( 2x-1 \) となるので、
\( P(x)=(x^2-2x+4)(x-3)+2x-1 \)
ここで、\( x=1+\sqrt{3}\,i \) を代入すると、\( x^2-2x+4=0 \) となるので、余りの \(2x-1\) だけに代入すればよい
\(\begin{eqnarray}~~~P(1+\sqrt{3}\,i)&=&2\cdot(1+\sqrt{3}\,i)-1
\\[3pt]~~~&=&2+2\sqrt{3}\,i-1
\\[3pt]~~~&=&1+2\sqrt{3}\,i\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2+2\sqrt{3}\,i-1
\\[3pt]~~~&=&1+2\sqrt{3}\,i\end{eqnarray}\)
