このページは、「x=a+biを用いた式の値」の練習問題アーカイブページとなります。
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x=a+biを用いた式の値 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\( x=1+\sqrt{2}\,i \) のとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) \( x^2-2x+3=0 \) であることを示せ。
\({\small (2)}~\) (1)の結果を用いて、\( x^3+3x^2-5x-14 \) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\) \( x^2-2x+3=0 \) であることを示せ。
\({\small (2)}~\) (1)の結果を用いて、\( x^3+3x^2-5x-14 \) の値を求めよ。
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.68 演習問題B 7
[証明] \( x=1+\sqrt{2}\,i \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&1+\sqrt{2}\,i
\\[3pt]~~~\hspace{40pt}x-1&=&\sqrt{2}\,i\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2&=&(\sqrt{2}\,i)^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&2i^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&2\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1+2&=&0
\\[3pt]~x^2-2x+3&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&2i^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&2\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1+2&=&0
\\[3pt]~x^2-2x+3&=&0\end{eqnarray}\)
[終]
\( P(x)=x^3+3x^2-5x-14 \) を \( x^2-2x+3 \) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x+5\hspace{62pt}\\x^2-2x+3~)~\overline{x^3+3x^2-5x-14}\\\underline{-~)~x^3-2x^2+3x\phantom{-14}}\\5x^2-8x-14\\\underline{-~)~5x^2-10x+15}\\2x-29\end{array}\)
商が \( x+5 \)、余りが \( 2x-29 \) となるので、
\( P(x)=(x^2-2x+3)(x+5)+2x-29 \)
ここで、\( x=1+\sqrt{2}\,i \) を代入すると、\( x^2-2x+3=0 \) となるので、余りの \(2x-29\) だけに代入すればよい
\(\begin{eqnarray}~~~P(1+\sqrt{2}\,i)&=&2\cdot(1+\sqrt{2}\,i)-29
\\[3pt]~&=&2+2\sqrt{2}\,i-29
\\[3pt]~~~&=&-27+2\sqrt{2}\,i\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~&=&2+2\sqrt{2}\,i-29
\\[3pt]~~~&=&-27+2\sqrt{2}\,i\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\( x=-1+\sqrt{2}\,i \) のとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) \( x^2+2x+3=0 \) であることを示せ。
\({\small (2)}~\) (1)の結果を用いて、\( x^3+6x^2+8x+7 \) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\) \( x^2+2x+3=0 \) であることを示せ。
\({\small (2)}~\) (1)の結果を用いて、\( x^3+6x^2+8x+7 \) の値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.65 章末問題B 7
[証明] \( x=-1+\sqrt{2}\,i \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&-1+\sqrt{2}\,i
\\[3pt]~~~\hspace{40pt}x+1&=&\sqrt{2}\,i\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+1)^2&=&(\sqrt{2}\,i)^2
\\[3pt]~~~x^2+2x+1&=&2i^2
\\[3pt]~~~x^2+2x+1&=&2\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~x^2+2x+1+2&=&0
\\[3pt]~x^2+2x+3&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2+2x+1&=&2i^2
\\[3pt]~~~x^2+2x+1&=&2\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~x^2+2x+1+2&=&0
\\[3pt]~x^2+2x+3&=&0\end{eqnarray}\)
[終]
\( P(x)=x^3+6x^2+8x+7 \) を \( x^2+2x+3 \) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x+4\hspace{62pt}\\x^2+2x+3~)~\overline{x^3+6x^2+8x+7}\\\underline{-~)~x^3+2x^2+3x\phantom{+7}}\\4x^2+5x+7\\\underline{-~)~4x^2+8x+12}\\-3x-5\end{array}\)
商が \( x+4 \)、余りが \( -3x-5 \) となるので、
\( P(x)=(x^2+2x+3)(x+4)-3x-5 \)
ここで、\( x=-1+\sqrt{2}\,i \) を代入すると、\( x^2+2x+3=0 \) となるので、余りの \(-3x-5\) だけに代入すればよい
\(\begin{eqnarray}~~~P(-1+\sqrt{2}\,i)&=&-3\cdot(-1+\sqrt{2}\,i)-5
\\[3pt]~&=&3-3\sqrt{2}\,i-5
\\[3pt]~~~&=&-2-3\sqrt{2}\,i\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~&=&3-3\sqrt{2}\,i-5
\\[3pt]~~~&=&-2-3\sqrt{2}\,i\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\( x=1+\sqrt{2}\,i \) のとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) \( x^2-2x+3=0 \) であることを示せ。
\({\small (2)}~\) (1)の結果を用いて、\( x^3+4x^2-5x+9 \) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\) \( x^2-2x+3=0 \) であることを示せ。
\({\small (2)}~\) (1)の結果を用いて、\( x^3+4x^2-5x+9 \) の値を求めよ。
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.65 章末問題B 10
[証明] \( x=1+\sqrt{2}\,i \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&1+\sqrt{2}\,i
\\[3pt]~~~\hspace{40pt}x-1&=&\sqrt{2}\,i\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2&=&(\sqrt{2}\,i)^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&2i^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&2\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1+2&=&0
\\[3pt]~x^2-2x+3&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&2i^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&2\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1+2&=&0
\\[3pt]~x^2-2x+3&=&0\end{eqnarray}\)
[終]
\( P(x)=x^3+4x^2-5x+9 \) を \( x^2-2x+3 \) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x+6\hspace{62pt}\\x^2-2x+3~)~\overline{x^3+4x^2-5x+9}\\\underline{-~)~x^3-2x^2+3x\phantom{+9}}\\6x^2-8x+9\\\underline{-~)~6x^2-12x+18}\\4x-9\end{array}\)
商が \( x+6 \)、余りが \( 4x-9 \) となるので、
\( P(x)=(x^2-2x+3)(x+6)+4x-9 \)
ここで、\( x=1+\sqrt{2}\,i \) を代入すると、\( x^2-2x+3=0 \) となるので、余りの \(4x-9\) だけに代入すればよい
\(\begin{eqnarray}~~~P(1+\sqrt{2}\,i)&=&4\cdot(1+\sqrt{2}\,i)-9
\\[3pt]~&=&4+4\sqrt{2}\,i-9
\\[3pt]~~~&=&-5+4\sqrt{2}\,i\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~&=&4+4\sqrt{2}\,i-9
\\[3pt]~~~&=&-5+4\sqrt{2}\,i\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\( x=1-\sqrt{3}\,i \) のとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) \( x^2-2x+4=0 \) となることを示せ。
\({\small (2)}~\) (1)の結果を用いて、\( x^3-4x^2+8x+3 \) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\) \( x^2-2x+4=0 \) となることを示せ。
\({\small (2)}~\) (1)の結果を用いて、\( x^3-4x^2+8x+3 \) の値を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.61 練習問題B 9
[証明] \( x=1-\sqrt{3}\,i \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&1-\sqrt{3}\,i
\\[3pt]~~~\hspace{40pt}x-1&=&-\sqrt{3}\,i\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2&=&(-\sqrt{3}\,i)^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&3i^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&3\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1+3&=&0
\\[3pt]~x^2-2x+4&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&3i^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&3\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1+3&=&0
\\[3pt]~x^2-2x+4&=&0\end{eqnarray}\)
[終]
\( P(x)=x^3-4x^2+8x+3 \) を \( x^2-2x+4 \) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x-2\hspace{62pt}\\x^2-2x+4~)~\overline{x^3-4x^2+8x+3}\\\underline{-~)~x^3-2x^2+4x\phantom{+3}}\\-2x^2+4x+3\\\underline{-~)~-2x^2+4x-8}\\11\end{array}\)
商が \( x-2 \)、余りが \( 11 \) となるので、
\( P(x)=(x^2-2x+4)(x-2)+11 \)
ここで、\( x=1-\sqrt{3}\,i \) を代入すると、\( x^2-2x+4=0 \) となるので、余りの \(11\) がそのまま答えとなる
\(\begin{eqnarray}~~~P(1-\sqrt{3}\,i)&=&11\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\( x=1-\sqrt{3}\,i \) のとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\) \( x^2-2x+4=0 \) が成り立つことを示せ。
\({\small (2)}~\) (1)の結果を用いて、\( x^3-4x^2+9x+3 \) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\) \( x^2-2x+4=0 \) が成り立つことを示せ。
\({\small (2)}~\) (1)の結果を用いて、\( x^3-4x^2+9x+3 \) の値を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.64 Level Up 4
[証明] \( x=1-\sqrt{3}\,i \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&1-\sqrt{3}\,i
\\[3pt]~~~\hspace{40pt}x-1&=&-\sqrt{3}\,i\end{eqnarray}\)
両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2&=&(-\sqrt{3}\,i)^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&3i^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&3\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1+3&=&0
\\[3pt]~x^2-2x+4&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&3i^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&3\cdot(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~x^2-2x+1+3&=&0
\\[3pt]~x^2-2x+4&=&0\end{eqnarray}\)
[終]
\( P(x)=x^3-4x^2+9x+3 \) を \( x^2-2x+4 \) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x-2\hspace{62pt}\\x^2-2x+4~)~\overline{x^3-4x^2+9x+3}\\\underline{-~)~x^3-2x^2+4x\phantom{+3}}\\-2x^2+5x+3\\\underline{-~)~-2x^2+4x-8}\\x+11\end{array}\)
商が \( x-2 \)、余りが \( x+11 \) となるので、
\( P(x)=(x^2-2x+4)(x-2)+x+11 \)
ここで、\( x=1-\sqrt{3}\,i \) を代入すると、\( x^2-2x+4=0 \) となるので、余りの \(x+11\) だけに代入すればよい
\(\begin{eqnarray}~~~P(1-\sqrt{3}\,i)&=&(1-\sqrt{3}\,i)+11
\\[3pt]~~~&=&12-\sqrt{3}\,i\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&12-\sqrt{3}\,i\end{eqnarray}\)
