- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「3次方程式x³=a³の解」の基本例題解説ページです。
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問題｜3次方程式x³=a³の解
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
3次方程式x³=a³の解
3次方程式 \(x^3=a^3\) の解は、
① \(x^3-a^3=0\) として左辺を因数分解する。
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) より、
\((x-a)(x^2+ax+a^2)=0\)
② \(x=a\) が1つの解で、残りの2つの解は \(x^2+ax+a^2=0\) の解の公式より求める。
\(x-a=0\) または \(x^2+ax+a^2=0\)
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詳しい解説｜3次方程式x³=a³の解
3次方程式 \(x^3=8~,~\)\(x^3=-1\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
\(\begin{eqnarray}\hspace{40pt}~~~x^3&=&8
\\[3pt]~~~x^3-8&=&0
\\[3pt]~~~x^3+(-2)^3&=&0\end{eqnarray}\)
公式 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\{x+(-2)\}\{x^2-x\cdot(-2)+(-2)^2\}&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)(x^2+2x+4)&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x-2=0\) または \(x^2+2x+4=0\)
\(x-2=0\) のとき、\(x=2\)
\(x^2+2x+4=0\) の解の公式より、
\(x\) の係数が偶数で、
\(x^2+2\cdot 1\cdot x+4=0\) とできるので、
\(x=\displaystyle\frac{\,-b^{\prime}\pm\sqrt{{b^{\prime}}^2-ac}\,}{\,a\,}\)
を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{1^2-1\cdot 4}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\pm\sqrt{1-4}
\\[3pt]~~~&=&-1\pm\sqrt{-3}
\\[3pt]~~~&=&-1\pm\sqrt{3}\,i\end{eqnarray}\)
したがって、\(x=2~,~-1\pm\sqrt{3}\,i\) となる
\(\begin{eqnarray}\hspace{40pt}~~~x^3&=&-1
\\[3pt]~~~x^3+1&=&0
\\[3pt]~~~x^3+1^3&=&0\end{eqnarray}\)
公式 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+1)(x^2-x\cdot 1+1^2)&=&0
\\[3pt]~~~(x+1)(x^2-x+1)&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x+1=0\) または \(x^2-x+1=0\)
\(x+1=0\) のとき \(x=-1\)
\(x^2-x+1=0\) の解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1}\,}{\,2\cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{1-4}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{-3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{3}\,i\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(x=-1~,~\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{3}\,i\,}{\,2\,}\) となる
