- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「1の3乗根ωを用いた式の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜1の3乗根ωを用いた式の値
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
1の3乗根ωを用いた式の値
\(1\) の3乗根の1つを \(\omega\) とするとき、\(\omega\) を用いた式の値は、
\(\omega^3=1\) と \(\omega^2+\omega+1=0\)
を使って計算する。
次数が高いときは \(\omega^3=1\) を用いて、次数を下げる。
\(\omega^6=(\omega^3)^2=1^2=1\)
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詳しい解説｜1の3乗根ωを用いた式の値
\(1\) の3乗根のうち、虚数であるものの1つを \(\omega\) とするとき、式 \(\omega^3-1~,~\)\(\omega^2+\omega~,~\)\(\omega^4+\omega^3+1~,~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega^2\,}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
\(1\) の3乗根のうち、虚数であるものの1つを \(\omega\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
\omega^3=1~~~\cdots {\small [\,1\,]} \\ \omega^2+\omega+1=0~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
が成り立つ
\(\begin{eqnarray}~~~&&\omega^3-1
\\[3pt]~~~&=&1-1~~~(\,∵~{\small [\,1\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\omega^2+\omega+1&=&0
\\[3pt]~~~\omega^2+\omega&=&-1\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\omega^5+\omega^4+1
\\[3pt]~~~&=&\omega^3 \cdot \omega^2+\omega^3 \cdot \omega+1
\\[3pt]~~~&=&1 \cdot \omega^2+1 \cdot \omega+1~~~(\,∵~{\small [\,1\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&\omega^2+\omega+1
\\[3pt]~~~&=&0~~~(\,∵~{\small [\,2\,]}\,)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\omega+1\,}{\,\omega^2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、\(\omega+1=-\omega^2\) と代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,-\omega^2\,}{\,\omega^2\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
