- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「x²=tと置き換える4次方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜x²=tと置き換える4次方程式
複素数と方程式 374次方程式 \(x^4+x^2-12=0~,~\)\(x^4=1~,~\)\((x^2-x)^2+3(x^2-x)+2=0\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
x²=tと置き換える4次方程式
Point：x²=tと置き換える4次方程式
\(x^4+x^2-12=0\)
① \(x^2=t\) とおくと \(x^4=t^2\) より、\(t\) の2次方程式として解く。
\(t^2+t-12=0\)
② \(t\) について左辺を因数分解して、2つの解を求める。
\((t+4)(t-3)=0\)
\(t=-4\) または \(t=3\)
③ \(t=x^2\) と元に戻し、それぞれの \(x\) の方程式を解く。
\(x^2+4=0\) または \(x^2-3=0\)
よって、\(x=\pm 2i~,~\pm\sqrt{3}\)
\(x^4\) と \(x^2\) を含む4次方程式は、
\(x^4+x^2-12=0\)
① \(x^2=t\) とおくと \(x^4=t^2\) より、\(t\) の2次方程式として解く。
\(t^2+t-12=0\)
② \(t\) について左辺を因数分解して、2つの解を求める。
\((t+4)(t-3)=0\)
\(t=-4\) または \(t=3\)
③ \(t=x^2\) と元に戻し、それぞれの \(x\) の方程式を解く。
\(x^2+4=0\) または \(x^2-3=0\)
よって、\(x=\pm 2i~,~\pm\sqrt{3}\)
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詳しい解説｜x²=tと置き換える4次方程式
複素数と方程式 37
4次方程式 \(x^4+x^2-12=0~,~\)\(x^4=1~,~\)\((x^2-x)^2+3(x^2-x)+2=0\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
\(x^4+x^2-12=0\)
\(x^2=t\) とおくと、\(x^4=t^2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~t^2+t-12&=&0
\\[3pt]~~~(t+4)(t-3)&=&0\end{eqnarray}\)
\(t+4=0\) または \(t-3=0\)
\(t+4=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~t&=&-4
\\[3pt]~~~x^2+4&=&0\hspace{15pt}(\,∵~t=x^2\,)
\\[3pt]~~~x^2&=&-4
\\[3pt]~~~x&=&\pm\sqrt{-4}
\\[3pt]~~~x&=&\pm 2i\end{eqnarray}\)
\(t-3=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~t&=&3
\\[3pt]~~~x^2-3&=&0\hspace{15pt}(\,∵~t=x^2\,)
\\[3pt]~~~x^2&=&3
\\[3pt]~~~x&=&\pm\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
したがって、\(x=\pm 2i~,~\pm\sqrt{3}\) となる
\(x^4=1\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^4-1&=&0\end{eqnarray}\)
\(x^2=t\) とおくと、\(x^4=t^2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~t^2-1&=&0
\\[3pt]~~~(t+1)(t-1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(t+1=0\) または \(t-1=0\)
\(t+1=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~t&=&-1
\\[3pt]~~~x^2+1&=&0\hspace{15pt}(\,∵~t=x^2\,)
\\[3pt]~~~x^2&=&-1
\\[3pt]~~~x&=&\pm\sqrt{-1}
\\[3pt]~~~x&=&\pm i\end{eqnarray}\)
\(t-1=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~t&=&1
\\[3pt]~~~x^2-1&=&0\hspace{15pt}(\,∵~t=x^2\,)
\\[3pt]~~~(x+1)(x-1)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&\pm 1\end{eqnarray}\)
したがって、\(x=\pm i~,~\pm 1\) となる
\((x^2-x)^2+3(x^2-x)+2=0\)
\(x^2-x=t\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~t^2+3t+2&=&0
\\[3pt]~~~(t+1)(t+2)&=&0\end{eqnarray}\)
\(t+1=0\) または \(t+2=0\)
\(t+1=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~t&=&-1
\\[3pt]~~~x^2-x+1&=&0\hspace{15pt}(\,∵~t=x^2-x\,)\end{eqnarray}\)
解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1}\,}{\,2\cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{1-4}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{-3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(t+2=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~t&=&-2
\\[3pt]~~~x^2-x+2&=&0\hspace{15pt}(\,∵~t=x^2-x\,)\end{eqnarray}\)
解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot 2}\,}{\,2\cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{1-8}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{-7}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{7}i\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(x=\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{3}i\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{7}i\,}{\,2\,}\) となる
