- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「因数定理を用いた3次方程式の解」の基本例題解説ページです。
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問題｜因数定理を用いた3次方程式の解
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
因数定理を用いた3次方程式の解
因数定理を用いた3次方程式の解の求め方は、
\(x^3-7x-6=0\)
① 左辺を \(P(x)\) とし、\(P(k)=0\) となる \(x=k\) を調べる。
\(P(x)=x^3-7x-6\) より \(P(-1)=0\)
② 因数定理より、\(P(x)\) は \(x-k\) を因数にもつので、\(P(x)\) を \(x-k\) で割って商を求め、\(P(x)\) を因数分解する。
\(P(x)\) は \(x+1\) を因数にもつので、
\(P(x)=(x+1)(x^2-x-6)\)
③ \(P(x)=0\) として、商の部分を因数分解 or 解の公式を用いて解く。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+1)(x+2)(x-3)=0
\\[3pt]&&~~~x=-1~,~-2~,~3\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜因数定理を用いた3次方程式の解
3次方程式 \(x^3-7x-6=0~,~\)\(x^3-x^2-x-2=0~,~\)\(2x^3+x^2+x-1=0\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
\(P(x)=x^3-7x-6\) とおくと、
定数項が \(-6\) より、その約数 \(\pm 1~,~\pm 2~,~\pm 3\) で \(P(x)=0\) となる可能性がある。
\(\begin{eqnarray}~~~P(1)&=&1^3-7\cdot 1-6
\\[3pt]~~~&=&-12\neq 0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(-1)&=&(-1)^3-7(-1)-6
\\[3pt]~~~&=&-1+7-6
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(P(x)\) は \(x+1\) を因数にもつ
\(P(x)\) を \(x+1\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x^2-x-6\hspace{30pt}\\x+1~)~\overline{x^3\phantom{+x^2}-7x-6}~~
\\[2pt]\underline{-~)~x^3+x^2\phantom{-7x-6}}~~
\\[2pt]-x^2-7x-6
\\[2pt]\underline{-~)~-x^2-x\phantom{-6}}~~~
\\[2pt]-6x-6
\\[2pt]\underline{-~)~-6x-6}
\\[2pt]0\end{array}\)
商が \(x^2-x-6\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、
\(P(x)=(x+1)(x^2-x-6)\)
かっこの中をさらに因数分解すると、
\(P(x)=(x+1)(x+2)(x-3)\)
よって、\(P(x)=0\) の解は、
\(x=-1~,~-2~,~3\)
\(P(x)=x^3-x^2-x-2\) とおくと、
定数項が \(-2\) より、その約数 \(\pm 1~,~\pm 2\) で \(P(x)=0\) となる可能性がある。
\(\begin{eqnarray}~~~P(1)&=&1-1-1-2
\\[3pt]~~~&=&-3\neq 0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(-1)&=&-1-1+1-2
\\[3pt]~~~&=&-3\neq 0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(2)&=&2^3-2^2-2-2
\\[3pt]~~~&=&8-4-2-2
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(P(x)\) は \(x-2\) を因数にもつ
\(P(x)\) を \(x-2\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x^2+x+1\hspace{30pt}\\x-2~)~\overline{x^3-x^2-x-2}~~~
\\[2pt]\underline{-~)~x^3-2x^2\phantom{-x-2}}~~~
\\[2pt]x^2-x-2
\\[2pt]\underline{-~)~x^2-2x\phantom{-2}}
\\[2pt]x-2
\\[2pt]\underline{-~)~x-2}
\\[2pt]0\end{array}\)
商が \(x^2+x+1\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、
\(P(x)=(x-2)(x^2+x+1)\)
\(P(x)=0\) とすると、
\(x-2=0\) または \(x^2+x+1=0\)
\(x-2=0\) より \(x=2\)
\(x^2+x+1=0\) は解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}\,}{\,2\cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{1-4}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{-3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=2~,~\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\)
\(P(x)=2x^3+x^2+x-1\) とおくと、
定数項 \(-1\) より \(x=\pm 1\) で \(P(x)=0\) となる可能性があるが、今回はどちらもならない。\(x^3\) の係数が \(2\) と定数項 \(-1\) より、\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で \(P(x)=0\) となる可能性がある。
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+1+2-4\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(P(x)\) は \(2x-1\) を因数にもつ
※ \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より \(2x-1=0\)
\(P(x)\) を \(2x-1\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x^2+x+1\hspace{30pt}\\2x-1~)~\overline{2x^3+x^2+x-1}~~~
\\[2pt]\underline{-~)~2x^3-x^2\phantom{+x-1}}~~~~
\\[2pt]2x^2+x-1
\\[2pt]\underline{-~)~2x^2-x\phantom{-1}}~
\\[2pt]2x-1
\\[2pt]\underline{-~)~2x-1}
\\[2pt]0\end{array}\)
商が \(x^2+x+1\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、
\(P(x)=(2x-1)(x^2+x+1)\)
\(P(x)=0\) とすると、
\(2x-1=0\) または \(x^2+x+1=0\)
\(2x-1=0\) より、\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(x^2+x+1=0\) は解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}\,}{\,2\cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{1-4}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{-3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\)
