- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「因数定理を用いた4次方程式の解」の基本例題解説ページです。
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問題｜因数定理を用いた4次方程式の解
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
因数定理を用いた4次方程式の解
因数定理を用いた4次方程式の解は、
\(x^4-x^3-2x^2+6x-4=0\)
① 左辺を \(P(x)\) とし、\(P(x)=0\) となる \(x\) の値を2つ調べる。
定数項が \(-4\) より、その約数 \(\pm 1~,~\pm 2~,~\pm 4\) で \(P(x)=0\) となる可能性がある。
\(P(x)=x^4-x^3-2x^2+6x-4\) より、
\(P(1)=0~,~P(-2)=0\)
② 因数定理より、\(P(x)\) は \(x-1~,~x+2\) を因数にもつので、\(P(x)\) を \((x-1)(x+2)=x^2+x-2\) で割り商を求め、\(P(x)\) を因数分解する。
\(P(x)\) は \((x-1)(x+2)\) を因数にもつので、
\(P(x)=(x-1)(x+2)(x^2-2x+2)\)
③ \(P(x)=0\) とし、商の部分を因数分解 or 解の公式を用いて解く。
\((x-1)(x+2)(x^2-2x+2)=0\)
\(x=1~,~-2~,~1 \pm i\)
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詳しい解説｜因数定理を用いた4次方程式の解
4次方程式 \(x^4-x^3-2x^2+6x-4=0\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
\(P(x)=x^4-x^3-2x^2+6x-4\) とおくと、
定数項が \(-4\) より、その約数 \(\pm 1~,~\pm 2~,~\pm 4\) で \(P(x)=0\) となる可能性がある。
\(\begin{eqnarray}~~~P(1)&=&1^4-1^3-2 \cdot 1^2+6 \cdot 1-4
\\[3pt]~~~&=&1-1-2+6-4=0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&1+1-2-6-4=-10 \neq 0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(2)&=&2^4-2^3-2 \cdot 2^2+6 \cdot 2-4
\\[3pt]~~~&=&16-8-8+12-4=8 \neq 0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&16+8-8-12-4=0\end{eqnarray}\)
よって、\(P(x)\) は \(x-1\) と \(x+2\) を因数にもつ
\(P(x)\) を \((x-1)(x+2)=x^2+x-2\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x^2-2x+2\hspace{50pt}\\[2pt]x^2+x-2~)~\overline{x^4-x^3-2x^2+6x-4}\\[2pt]\underline{-~)~x^4+x^3-2x^2\phantom{+6x-4}}~~\\[2pt]-2x^3\phantom{-2x^2}+6x-4~\\[2pt]\underline{-~)~-2x^3-2x^2+4x\phantom{-4}}\\[2pt]2x^2+2x-4\\[2pt]\underline{-~)~2x^2+2x-4}\\[2pt]0\end{array}\)
商は \(x^2-2x+2\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、
\(P(x)=(x-1)(x+2)(x^2-2x+2)\)
\(P(x)=0\) とすると、
\(x-1=0\) より、\(x=1\)
\(x+2=0\) より、\(x=-2\)
\(x^2-2x+2=0\) の解は解の公式より、
\(x\) の係数が偶数で、
\(x^2+2 \cdot (-1)x+2=0\) とできるので、
\(x=\displaystyle\frac{\,-b^{\prime}\pm\sqrt{{b^{\prime}}^2-ac}\,}{\,a\,}\)
を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-1 \cdot 2}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&1 \pm \sqrt{1-2}
\\[3pt]~~~&=&1 \pm \sqrt{-1}
\\[3pt]~~~&=&1 \pm i\end{eqnarray}\)
したがって、\(x=1~,~-2~,~1 \pm i\) となる
