- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「高次方程式の2重解・3重解」の基本例題解説ページです。
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問題｜高次方程式の2重解・3重解
複素数と方程式 403次方程式 \(x^3-5x^2+8x-4=0\) の2重解の求め方は？また、4次方程式 \(x^4+x^3-3x^2-5x-2=0\) の3重解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
高次方程式の2重解・3重解
Point：高次方程式の2重解・3重解
方程式 \((x+1)^3(x-2)=0\) の解 \(x=-1\) を「3重解」という。
方程式 \((x-1)(x-2)^2=0\) の解 \(x=2\) を「2重解」という。
方程式 \((x+1)^3(x-2)=0\) の解 \(x=-1\) を「3重解」という。
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詳しい解説｜高次方程式の2重解・3重解
複素数と方程式 40
3次方程式 \(x^3-5x^2+8x-4=0\) の2重解の求め方は？また、4次方程式 \(x^4+x^3-3x^2-5x-2=0\) の3重解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
\(P(x)=x^3-5x^2+8x-4\) とおくと、
定数項が \(-4\) より、その約数 \(\pm 1~,~\pm 2~,~\pm 4\) で \(P(x)=0\) となる可能性がある。
\(\begin{eqnarray}~~~P(1)&=&1^3-5\cdot 1^2+8\cdot 1-4
\\[3pt]~~~&=&1-5+8-4=0\end{eqnarray}\)
よって、\(P(x)\) は \(x-1\) を因数にもつ
\(P(x)\) を \(x-1\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x^2-4x+4\hspace{28pt}
\\[2pt]x-1~)~\overline{x^3-5x^2+8x-4}
\\[2pt]\underline{-~)~x^3-x^2\phantom{+8x-4}}~~~
\\[2pt]-4x^2+8x-4
\\[2pt]\underline{-~)~{-4x^2+4x}\phantom{-4}}~
\\[2pt]4x-4
\\[2pt]\underline{-~)~4x-4}
\\[2pt]0\end{array}\)
商は \(x^2-4x+4\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、
\(P(x)=(x-1)(x^2-4x+4)\)
かっこの中をさらに因数分解すると、
\(=(x-1)(x-2)^2\)
\(P(x)=0\) とおくと、
\(x=1~,~2\)
よって、2重解は \(x=2\) となる
\(P(x)=x^4+x^3-3x^2-5x-2\) とおくと、
定数項が \(-2\) より、その約数 \(\pm 1~,~\pm 2\) で \(P(x)=0\) となる可能性がある。
\(\begin{eqnarray}~~~P(1)&=&1^4+1^3-3\cdot 1^2-5\cdot 1-2
\\[3pt]~~~&=&1+1-3-5-2=-8\neq 0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(-1)&=&(-1)^4+(-1)^3-3\cdot(-1)^2-5\cdot(-1)-2
\\[3pt]~~~&=&1-1-3+5-2=0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&1-1-3+5-2=0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(2)&=&2^4+2^3-3\cdot 2^2-5\cdot 2-2
\\[3pt]~~~&=&16+8-12-10-2=0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(-2)&=&(-2)^4+(-2)^3-3\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)-2
\\[3pt]~~~&=&16-8-12+10-2=4\neq 0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&16-8-12+10-2=4\neq 0\end{eqnarray}\)
よって、\(P(x)\) は \(x+1\) と \(x-2\) を因数にもつ
\(P(x)\) を \((x+1)(x-2)=x^2-x-2\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x^2+2x+1\hspace{50pt}
\\[2pt]x^2-x-2~)~\overline{x^4+x^3-3x^2-5x-2}
\\[2pt]\underline{-~)~x^4-x^3-2x^2\phantom{-5x-2}}~~
\\[2pt]2x^3-x^2-5x-2~
\\[2pt]\underline{-~)~2x^3-2x^2-4x\phantom{-2}}
\\[2pt]x^2-x-2
\\[2pt]\underline{-~)~x^2-x-2}
\\[2pt]0\end{array}\)
商は \(x^2+2x+1\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、
\(P(x)=(x+1)(x-2)(x^2+2x+1)\)
かっこの中をさらに因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~P(x)&=&(x+1)(x-2)(x+1)^2
\\[3pt]~~~&=&(x+1)^3(x-2)\end{eqnarray}\)
\(P(x)=0\) となるのは、
\(x=-1~,~2\)
よって、3重解は \(x=-1\) となる
