- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「3次方程式の2つの実数解と係数」の基本例題解説ページです。
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問題｜3次方程式の2つの実数解と係数
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
3次方程式の2つの実数解と係数
3次方程式 \(x^3+ax^2+x+b=0\) が2つの実数解 \(-1\) と \(2\) をもつとき、
① この3次方程式の他の解を \(c\) として、因数定理より \(x\) の恒等式を立てる。
\(x+1~,~x-2~,~x-c\) を因数にもつ。
\(x^3+ax^2+x+b=(x+1)(x-2)(x-c)\)
② 右辺を展開して、左辺と係数を比較することで \(a~,~b~,~c\) の値を求める。
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詳しい解説｜3次方程式の2つの実数解と係数
3次方程式 \(x^3+ax^2+x+b=0\) が \(-1\) と \(2\) を解にもつとき、実数の定数 \(a~,~b\) の値と他の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
この3次方程式の他の解を \(c\) とおくと、
\(x=-1~,~2~,~c\) を解にもつことより、左辺の \(P(x)=x^3+ax^2+x+b\) は、\(x+1~,~x-2~,~x-c\) を因数にもつ
よって、\(x\) の恒等式
\(x^3+ax^2+x+b=(x+1)(x-2)(x-c)\)
が成り立つ
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+1)(x-2)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&(x^2-x-2)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2-x^2+cx-2x+2c
\\[3pt]~~~&=&x^3-(c+1)x^2+(c-2)x+2c\end{eqnarray}\)
左辺と係数を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a=-(c+1)~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\ 1=c-2~~~\hspace{15pt}\cdots{\small [\,2\,]} \\ b=2c~~~\hspace{28pt}\cdots{\small [\,3\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~1&=&c-2
\\[3pt]~~~-c&=&-3
\\[3pt]~~~c&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&-(3+1)
\\[3pt]~~~&=&-4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) に代入して、
\(\begin{eqnarray}~~~b=2\cdot 3=6\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-4~,~b=6\)、他の解 \(x=3\) となる
別解①｜教科書の解法
① 2つの解をそれぞれ代入した式を連立方程式として、\(a~,~b\) の値を求める。
\(x=-1\) のとき、\(a+b=2\)
\(x=2\) のとき、\(4a+b=-10\)
よって、\(a=-4~,~b=6\)
② \(a~,~b\) の値を代入して、3次方程式を解き、他の解を求める。
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\(x=-1\) を解にもつので、代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(-1)^3+a(-1)^2+(-1)+b&=&0
\\[3pt]~~~-1+a-1+b&=&0
\\[3pt]~~~a+b&=&2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(x=2\) を解にもつので、代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2^3+a\cdot 2^2+2+b&=&0
\\[3pt]~~~8+4a+2+b&=&0
\\[3pt]~~~4a+b&=&-10~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4a+b&=&-10
\\[3pt]~~-)~~~a+b&=&2
\\[3pt]\hline~~~3a&=&-12
\\[3pt]~~~a&=&-4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-4+b&=&2
\\[3pt]~~~b&=&6\end{eqnarray}\)
よって、方程式は \(x^3-4x^2+x+6=0\)
\(x=-1~,~2\) を解にもつので、左辺は \((x+1)(x-2)=x^2-x-2\) を因数にもつ
\(x^3-4x^2+x+6\) を \(x^2-x-2\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x-3\hspace{55pt}
\\[2pt]x^2-x-2~)~\overline{x^3-4x^2+\phantom{0}x+6}
\\[2pt]\underline{-~)~x^3-\phantom{0}x^2-2x\phantom{+6}~~}
\\[2pt]-3x^2+3x+6
\\[2pt]\underline{-~)~-3x^2+3x+6}
\\[2pt]0\end{array}\)
よって、商が \(x-3\) であるので、左辺を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^3-4x^2+x+6&=&0
\\[3pt]~~~(x+1)(x-2)(x-3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~2~,~3\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-4~,~b=6\)、他の解 \(x=3\) となる
別解②｜教科書の別解
① \(x+1\) と \(x-2\) を因数にもつことより、\(P(x)\) を \((x+1)(x-2)\) で割る。
\(P(x)\) を \((x+1)(x-2)=x^2-x-2\) で割ると
商 \(x+(a+1)\)、余りは \((a+4)x+2a+b+2\)
② \(P(x)\) は \((x+1)(x-2)\) で割り切れるので、余りが \(0\) となることより、\(a~,~b\) の値を求める。
余り \((a+4)x+2a+b+2\) より、
\(\begin{cases}a+4=0\\2a+b+2=0\end{cases}\)
よって、\(a=-4~,~b=6\)
③ 割り算の商より、他の解を求める。
商 \(x+(a+1)\) より、他の解 \(x=3\)
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\(x=-1~,~2\) を解にもつことより、
左辺 \(P(x)=x^3+ax^2+x+b\) は、\(x+1\) と \(x-2\) を因数にもつ
よって、\(P(x)\) は \((x+1)(x-2)=x^2-x-2\) で割り切れるので、
\(\begin{array}{rr}x+(a+1)\hspace{76pt}
\\[2pt]x^2-x-2~)~\overline{x^3+ax^2+x+b\hspace{55pt}}
\\[2pt]\underline{-~)~x^3-x^2-2x\hspace{71pt}}
\\[2pt](a+1)x^2+3x+b\hspace{58pt}
\\[2pt]\underline{-~)~(a+1)x^2-(a+1)x-2(a+1)}
\\[2pt](a+4)x+b+2(a+1)\end{array}\)
\(P(x)\) を \((x+1)(x-2)=x^2-x-2\) で割ると余りが \(0\) となることより、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a+4=0~~~\hspace{29pt}\cdots{\small [\,1\,]}
\\ b+2(a+1)=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、\(a=-4\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2\cdot(-4)+b+2&=&0
\\[3pt]~~~-8+b+2&=&0
\\[3pt]~~~b&=&6\end{eqnarray}\)
また、商は \(x+(a+1)=x-3\) であるので、左辺を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x+1)(x-2)(x-3)=0
\\[3pt]&&~~~x=-1~,~2~,~3\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-4~,~b=6\)、他の解 \(x=3\) となる
