3次方程式の2つの実数解と係数

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.63 練習30

【教科書の解法】

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\(x=1\) を解にもつので、代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~1^3+a\cdot 1^2+14\cdot 1+b&=&0
\\[3pt]~~~1+a+14+b&=&0
\\[3pt]~~~a+b&=&-15~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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\(x=2\) を解にもつので、代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2^3+a\cdot 2^2+14\cdot 2+b&=&0
\\[3pt]~~~8+4a+28+b&=&0
\\[3pt]~~~4a+b&=&-36~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}-{\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~4a+b&=&-36
\\[3pt]-)~~~a+b&=&-15
\\[3pt]\hline~~~3a&=&-21
\\[3pt]~~~a&=&-7\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-7+b&=&-15
\\[3pt]~~~b&=&-8\end{eqnarray}\)

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よって、方程式は \(x^3-7x^2+14x-8=0\)

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\(x=1~,~2\) を解にもつので、左辺は \((x-1)(x-2)=x^2-3x+2\) を因数にもつ

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\(x^3-7x^2+14x-8\) を \(x^2-3x+2\) で割ると、

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\(\begin{array}{rr}x-4\hspace{60pt}
\\[2pt]x^2-3x+2~)~\overline{x^3-7x^2+14x-8}
\\[2pt]\underline{-~)~x^3-3x^2+\phantom{0}2x\phantom{-8}~~}
\\[2pt]-4x^2+12x-8
\\[2pt]\underline{-~)~-4x^2+12x-8}
\\[2pt]0\end{array}\)

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よって、商が \(x-4\) であるので、左辺を因数分解すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~x^3-7x^2+14x-8&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x-2)(x-4)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1~,~2~,~4\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a=-7~,~b=-8\)、他の解 \(x=4\) となる

 
 

【おすすめ別解】

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この3次方程式の他の解を \(c\) とおくと、

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\(x=1~,~2~,~c\) を解にもつことより、左辺の \(P(x)=x^3+ax^2+14x+b\) は、\(x-1~,~x-2~,~x-c\) を因数にもつ

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よって、\(x\) の恒等式

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　\(x^3+ax^2+14x+b=(x-1)(x-2)(x-c)\)

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が成り立つ

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　（右辺）

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-1)(x-2)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&(x^2-3x+2)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2-3x^2+3cx+2x-2c
\\[3pt]~~~&=&x^3-(c+3)x^2+(3c+2)x-2c\end{eqnarray}\)

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左辺と係数を比較すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a=-(c+3)~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\ 14=3c+2~~~\cdots{\small [\,2\,]} \\ b=-2c~~~\cdots{\small [\,3\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~14&=&3c+2
\\[3pt]~~~3c&=&12
\\[3pt]~~~c&=&4\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入して、

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\(\begin{eqnarray}~~~a&=&-(4+3)
\\[3pt]~~~&=&-7\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) に代入して、

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\(\begin{eqnarray}~~~b=-2\cdot 4=-8\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a=-7~,~b=-8\)、他の解 \(x=4\) となる

 
 

【別解その②】
\(x=1~,~2\) を解にもつことより、

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左辺 \(P(x)=x^3+ax^2+14x+b\) は、\(x-1\) と \(x-2\) を因数にもつ

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よって、\(P(x)\) は \((x-1)(x-2)=x^2-3x+2\) で割り切れるので、

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\(P(x)\) を \((x-1)(x-2)=x^2-3x+2\) で割ると余りが \(0\) となることより、

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\(\begin{eqnarray}~ \left\{~\begin{array}{l}
a+7=0~~~\hspace{29pt}\cdots{\small [\,1\,]}
\\ b-2(a+3)=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より、\(a=-7\)

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\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~b-2(-7+3)&=&0
\\[3pt]~~~b-2\cdot(-4)&=&0
\\[3pt]~~~b+8&=&0
\\[3pt]~~~b&=&-8\end{eqnarray}\)

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また、商は \(x+(a+3)=x-4\) であるので、左辺を因数分解すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-1)(x-2)(x-4)=0
\\[3pt]&&~~~x=1~,~2~,~4\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a=-7~,~b=-8\)、他の解 \(x=4\) となる

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.64 問題 11
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.63 補充問題 6

【教科書の解法】

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\(x=1\) を解にもつので、代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~1^3-2\cdot 1^2+a\cdot 1+b&=&0
\\[3pt]~~~1-2+a+b&=&0
\\[3pt]~~~a+b&=&1~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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\(x=-1\) を解にもつので、代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(-1)^3-2\cdot(-1)^2+a\cdot(-1)+b&=&0
\\[3pt]~~~-1-2-a+b&=&0
\\[3pt]~~~-a+b&=&3~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&1
\\[3pt]+)~~~-a+b&=&3
\\[3pt]\hline~~~2b&=&4
\\[3pt]~~~b&=&2\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+2&=&1
\\[3pt]~~~a&=&-1\end{eqnarray}\)

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よって、方程式は \(x^3-2x^2-x+2=0\)

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\(x=1~,~-1\) を解にもつので、左辺は \((x-1)(x+1)=x^2-1\) を因数にもつ

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\(x^3-2x^2-x+2\) を \(x^2-1\) で割ると、

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\(\begin{array}{rr}x-2\hspace{48pt}
\\[2pt]x^2-1~)~\overline{x^3-2x^2-x+2}
\\[2pt]\underline{-~)~x^3\phantom{-2x^2}~-x\phantom{+2}~~}
\\[2pt]-2x^2\phantom{-x}+2
\\[2pt]\underline{-~)~-2x^2\phantom{-x}+2}
\\[2pt]0\end{array}\)

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よって、商が \(x-2\) であるので、左辺を因数分解すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~x^3-2x^2-x+2&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x+1)(x-2)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-1~,~1~,~2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a=-1~,~b=2\)、他の解 \(x=2\) となる

 
 

【おすすめ別解】

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この3次方程式の他の解を \(c\) とおくと、

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\(x=1~,~-1~,~c\) を解にもつことより、左辺の \(P(x)=x^3-2x^2+ax+b\) は、\(x-1~,~x+1~,~x-c\) を因数にもつ

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よって、\(x\) の恒等式

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　\(x^3-2x^2+ax+b=(x-1)(x+1)(x-c)\)

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が成り立つ

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　（右辺）

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-1)(x+1)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&(x^2-1)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2-x+c\end{eqnarray}\)

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左辺と係数を比較すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
-2=-c~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\ a=-1~~~\cdots{\small [\,2\,]} \\ b=c~~~\cdots{\small [\,3\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~-2&=&-c
\\[3pt]~~~c&=&2\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a=-1\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) に代入して、

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\(\begin{eqnarray}~~~b=2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a=-1~,~b=2\)、他の解 \(x=2\) となる

 
 

【別解その②】
\(x=1~,~-1\) を解にもつことより、

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左辺 \(P(x)=x^3-2x^2+ax+b\) は、\(x-1\) と \(x+1\) を因数にもつ

---

よって、\(P(x)\) は \((x-1)(x+1)=x^2-1\) で割り切れるので、

---

\(\begin{array}{rr}x-2\hspace{62pt}
\\[2pt]x^2-1~)~\overline{x^3-2x^2+ax+b\hspace{10pt}}
\\[2pt]\underline{-~)~x^3\phantom{-2x^2}~~-x\hspace{26pt}~~}
\\[2pt]-2x^2+(a+1)x+b
\\[2pt]\underline{-~)~-2x^2~~~\hspace{36pt}+2}
\\[2pt](a+1)x+b-2\end{array}\)

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\(P(x)\) を \((x-1)(x+1)=x^2-1\) で割ると余りが \(0\) となることより、

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\(\begin{eqnarray}~ \left\{~\begin{array}{l}
a+1=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\ b-2=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より、\(a=-1\)

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\({\small [\,2\,]}\) より、\(b=2\)

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また、商は \(x-2\) であるので、左辺を因数分解すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-1)(x+1)(x-2)=0
\\[3pt]&&~~~x=-1~,~1~,~2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a=-1~,~b=2\)、他の解 \(x=2\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.44 問題 22(1)

【教科書の解法】

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\(x=1\) を解にもつので、代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~1^3+a\cdot 1^2+b\cdot 1-6&=&0
\\[3pt]~~~1+a+b-6&=&0
\\[3pt]~~~a+b&=&5~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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\(x=-2\) を解にもつので、代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(-2)^3+a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)-6&=&0
\\[3pt]~~~-8+4a-2b-6&=&0
\\[3pt]~~~4a-2b&=&14
\\[3pt]~~~2a-b&=&7~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&5
\\[3pt]+)~~~2a-b&=&7
\\[3pt]\hline~~~3a&=&12
\\[3pt]~~~a&=&4\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4+b&=&5
\\[3pt]~~~b&=&1\end{eqnarray}\)

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よって、方程式は \(x^3+4x^2+x-6=0\)

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\(x=1~,~-2\) を解にもつので、左辺は \((x-1)(x+2)=x^2+x-2\) を因数にもつ

---

\(x^3+4x^2+x-6\) を \(x^2+x-2\) で割ると、

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\(\begin{array}{rr}x+3\hspace{51pt}
\\[2pt]x^2+x-2~)~\overline{x^3+4x^2+\phantom{0}x-6}
\\[2pt]\underline{-~)~x^3+\phantom{0}x^2-2x\phantom{-6}~~}
\\[2pt]3x^2+3x-6
\\[2pt]\underline{-~)~3x^2+3x-6}
\\[2pt]0\end{array}\)

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よって、商が \(x+3\) であるので、左辺を因数分解すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~x^3+4x^2+x-6&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x+2)(x+3)&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-3~,~-2~,~1\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a=4~,~b=1\)、他の解 \(x=-3\) となる

 
 

【おすすめ別解】

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この3次方程式の他の解を \(c\) とおくと、

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\(x=1~,~-2~,~c\) を解にもつことより、左辺の \(P(x)=x^3+ax^2+bx-6\) は、\(x-1~,~x+2~,~x-c\) を因数にもつ

---

よって、\(x\) の恒等式

---

　\(x^3+ax^2+bx-6=(x-1)(x+2)(x-c)\)

---

が成り立つ

---

　（右辺）

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x-1)(x+2)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&(x^2+x-2)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2+x^2-cx-2x+2c
\\[3pt]~~~&=&x^3+(1-c)x^2+(-c-2)x+2c\end{eqnarray}\)

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左辺と係数を比較すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a=1-c~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\ b=-c-2~~~\cdots{\small [\,2\,]} \\ -6=2c~~~\cdots{\small [\,3\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~2c&=&-6
\\[3pt]~~~c&=&-3\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入して、

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\(\begin{eqnarray}~~~a&=&1-(-3)
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) に代入して、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-(-3)-2
\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(a=4~,~b=1\)、他の解 \(x=-3\) となる

 
 

【別解その②】
\(x=1~,~-2\) を解にもつことより、

---

左辺 \(P(x)=x^3+ax^2+bx-6\) は、\(x-1\) と \(x+2\) を因数にもつ

---

よって、\(P(x)\) は \((x-1)(x+2)=x^2+x-2\) で割り切れるので、

---

\(\begin{array}{rr}x+(a-1)\hspace{66pt}~~~~
\\[2pt]x^2+x-2~)~\overline{x^3+ax^2+bx-6\hspace{40pt}~~~~}
\\[2pt]\underline{-~)~x^3+x^2-2x\hspace{57pt}~~~~~~}
\\[2pt](a-1)x^2+(b+2)x-6\hspace{22pt}~~~~
\\[2pt]\underline{-~)~(a-1)x^2+(a-1)x-2(a-1)}
\\[2pt](b-a+3)x+2a-8\end{array}\)

---

\(P(x)\) を \((x-1)(x+2)=x^2+x-2\) で割ると余りが \(0\) となることより、

---

\(\begin{eqnarray}~ \left\{~\begin{array}{l}
b-a+3=0~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\ 2a-8=0~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}\) より、\(a=4\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~b-4+3&=&0
\\[3pt]~~~b&=&1\end{eqnarray}\)

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また、商は \(x+(a-1)=x+3\) であるので、左辺を因数分解すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-1)(x+2)(x+3)=0
\\[3pt]&&~~~x=-3~,~-2~,~1\end{eqnarray}\)

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したがって、\(a=4~,~b=1\)、他の解 \(x=-3\) となる