- 数学Ⅱ｜複素数と方程式「3次方程式の2重解と係数」の基本例題解説ページです。
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問題｜3次方程式の2重解と係数
複素数と方程式 43☆3次方程式 \(x^3+2x^2+ax+b=0\) が2重解 \(1\) をもつとき、実数の定数 \(a~,~b\) の値と他の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
解法のPoint
3次方程式の2重解と係数
Point：3次方程式の2重解と係数
① もう1つの解を \(x=c\) とし、因数定理より \(x\) の恒等式を立てる。
\(x^3+2x^2+ax+b=(x-1)^2(x-c)\)
② 右辺を展開して係数比較することで、\(a~,~b\) の値と他の解 \(x=c\) を求める。
3次方程式 \(x^3+2x^2+ax+b=0\) が2重解 \(1\) をもつとき、
① もう1つの解を \(x=c\) とし、因数定理より \(x\) の恒等式を立てる。
\(x^3+2x^2+ax+b=(x-1)^2(x-c)\)
② 右辺を展開して係数比較することで、\(a~,~b\) の値と他の解 \(x=c\) を求める。
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詳しい解説｜3次方程式の2重解と係数
複素数と方程式 43☆
3次方程式 \(x^3+2x^2+ax+b=0\) が2重解 \(1\) をもつとき、実数の定数 \(a~,~b\) の値と他の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜複素数と方程式
\(x=1\) を2重解とし、もう1つの解を \(x=c\) とすると、
\(x^3+2x^2+ax+b\) は \((x-1)^2\) と \(x-c\) を因数にもつので、
\(x^3+2x^2+ax+b=(x-1)^2(x-c)\)
右辺を展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x-1)^2(x-c)
\\[3pt]~~~&=&(x^2-2x+1)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2-2x^2+2cx+x-c
\\[3pt]~~~&=&x^3-(c+2)x^2+(2c+1)x-c\end{eqnarray}\)
左辺と係数比較すると、
\(\left\{~\begin{array}{l}2=-(c+2)~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\a=2c+1~~~\hspace{10pt}\cdots{\small [\,2\,]}
\\b=-c~~~\hspace{25pt}\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2&=&-c-2
\\[3pt]~~~c&=&-4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&2\cdot(-4)+1
\\[3pt]~~~&=&-8+1
\\[3pt]~~~&=&-7\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-(-4)
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a=-7~,~b=4\)、他の解 \(-4\) となる
