- 数学Ⅱ｜図形と方程式「平面上の2点から等距離にある点」の基本例題解説ページです。
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問題｜平面上の2点から等距離にある点
図形と方程式 03平面上の2点 \({\rm A}(-2~,~2)~,~\)\({\rm B}(4~,~4)\) から等距離にある \(x\) 軸上の点 \({\rm P}\) の座標の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
解法のPoint
平面上の2点から等距離にある点
Point：平面上の2点から等距離にある点
① \(x\) 軸上の点 \({\rm P}\) の座標を文字でおく。
\(x\) 軸上にあるので、\(y\) 座標が \(0\)
よって、\({\rm P}(a~,~0)\)
※ \(y\) 軸上の点であれば \((0~,~b)\) とおく。
② 2点の距離 \({\rm AP}~,~\)\({\rm BP}\) を求める。
③ 等距離の条件 \({\rm AP}={\rm BP}\) に代入し、\(a\) の値を求める。
計算しやすいように \({\rm AP}^2={\rm BP}^2\) として、
平方根を含まない式とする。
2点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}\) から等距離にある \(x\) 軸上の点 \({\rm P}\) の座標は、
① \(x\) 軸上の点 \({\rm P}\) の座標を文字でおく。
\(x\) 軸上にあるので、\(y\) 座標が \(0\)
よって、\({\rm P}(a~,~0)\)
※ \(y\) 軸上の点であれば \((0~,~b)\) とおく。
② 2点の距離 \({\rm AP}~,~\)\({\rm BP}\) を求める。
③ 等距離の条件 \({\rm AP}={\rm BP}\) に代入し、\(a\) の値を求める。
計算しやすいように \({\rm AP}^2={\rm BP}^2\) として、
平方根を含まない式とする。
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詳しい解説｜平面上の2点から等距離にある点
図形と方程式 03
平面上の2点 \({\rm A}(-2~,~2)~,~\)\({\rm B}(4~,~4)\) から等距離にある \(x\) 軸上の点 \({\rm P}\) の座標の求め方は？
高校数学Ⅱ｜図形と方程式
\(x\) 軸上の点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(a~,~0)\) とおくと、
点 \({\rm A}\) との距離 \({\rm AP}\) は、
下の図は実際の座標の位置関係とは異なるが、計算の手順を統一するために、常にこの形で図を描くとよい。
\(x\) 座標の差は \(|\,a-(-2)\,|=|\,a+2\,|\)
\(y\) 座標の差は \(|\,0-2\,|=|\,-2\,|=2\)
よって、
\({\rm AP}=\sqrt{(a+2)^2+2^2}~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)
次に、点 \({\rm B}\) との距離 \({\rm BP}\) は、
下の図は実際の座標の位置関係とは異なるが、計算の手順を統一するために、常にこの形で図を描くとよい。
\(x\) 座標の差は \(|\,a-4\,|\)
\(y\) 座標の差は \(|\,0-4\,|=|\,-4\,|=4\)
よって、
\({\rm BP}=\sqrt{(a-4)^2+4^2}~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
点 \({\rm P}\) は2点 \({\rm A}~,~\)\({\rm B}\) から等距離にあるので、
\({\rm AP}={\rm BP}\)
\(\Leftrightarrow~{\rm AP}^2={\rm BP}^2\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) をそれぞれ2乗して代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(a+2)^2+2^2&=&(a-4)^2+4^2
\\[3pt]~~~a^2+4a+4+4&=&a^2-8a+16+16
\\[3pt]~~~a^2+4a+8&=&a^2-8a+32
\\[3pt]~~~4a+8a&=&32-8
\\[3pt]~~~12a&=&24
\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、点 \({\rm P}(2~,~0)\) となる
